Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

La fonction logarithme népérien

I

Les propriétés caractéristiques du logarithme népérien

A

La caractérisation

Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur + et notée ln, est définie pour tout réel x strictement positif par :

ln(x)=yx=ey

Pour tout réel x strictement positif, ln(x) est l'unique réel a vérifiant exp(a)=x.

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.

Pour tout réel x :

ln(ex)=x

Pour tout réel x strictement positif :

eln(x)=x

ln(1)=0

B

Le signe

  • x]0;1],ln(x)0
  • x[1;+[,ln(x)0

On a le tableau de signes suivant :

-
C

Les propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs x et y :

ln(xy)=ln(x)+ln(y)

ln(1x)=ln(x)

ln(xy)=ln(x)ln(y)

ln(15)=ln(3×5)=ln(3)+ln(5)

ln(37)=ln(3)ln(7)

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

ln(xn)=nln(x)

ln(x)=12ln(x)

ln(8)=ln(23)=3ln(2)

II

Étude du logarithme népérien

A

Les limites

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

limx0+ln(x)=

limx+ln(x)=+

Croissances comparées

limx+ln(x)x=0

limx0+xln(x)=0

Taux d'accroissement

Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1 étant égal à 1 :

limx1ln(x)x1=1

En posant le changement de variable x=y+1, on a :

limy0ln(1+y)y=1

B

La dérivée

Dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable (et donc continue) sur +. Pour tout réel x strictement positif :

ln(x)=1x

Dérivée de ln(u)

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La composée ln(u) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

(ln(u))(x)=u(x)u(x)

Considérons la fonction définie et dérivable sur ]12;+[ par f(x)=ln(2x+1).

On pose, pour tout réel x de ]12;+[ :

  • u(x)=2x+1
  • Comme restriction d'une fonction affine à l'intervalle ]12;+[, u est dérivable sur ]12;+[ et pour tout réel x de ]12;+[, u(x)=2

De plus, u(x)>0 sur ]12;+[.

Donc f=ln(u) est dérivable sur ]12;+[ et f=uu.

Ainsi, pour tout réel x de ]12;+[ :

f(x)=22x+1

C

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur +.

-

La droite d’équation y=x1 est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1 :

-

De plus, les fonctions exponentielle et logarithme népérien étant réciproques, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

-
D

Le logarithme décimal

Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée log, est définie sur + par :

log(x)=ln(x)ln(10)

  • log(10)=1
  • log(10n)=n, pour tout entier relatif n

log(105)=5

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