Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Calculer l'aire sous la courbe d'une fonction

On peut calculer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction f à l'aide d'un calcul d'intégrales.

Soit f la fonction définie sur par :

f(x)=x3

Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace la courbe représentative de la fonction f. Calculer l'aire de la zone hachurée.

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Etape 1

Exprimer l'aire que l'on veut calculer

On détermine la fonction f et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle de la surface comprise entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

On cherche à déterminer l'aire de la surface comprise entre Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=1.

Etape 2

Déterminer le signe de f sur [a;b]

On détermine le signe de f sur [a;b]. On peut l'obtenir grâce à la position de Cf par rapport à l'axe des abscisses si la représentation graphique est donnée par l'énoncé.

La courbe est située :

  • En dessous de l'axe des abscisses sur [2;0]
  • Au-dessus de l'axe des abscisses sur [0;1]

Ainsi, f est négative sur [2;0] et positive sur [0;1].

Etape 3

Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale

Trois cas se présentent :

  • Si f est positive sur [a;b], alors A=baf(x) dx.
  • Si f est négative sur [a;b], alors A=baf(x) dx.
  • Si f change de signe sur [a;b], on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.

f étant négative sur [2;0] et positive sur [0;1], on a :

A=02f(x) dx+10f(x) dx

On remplace f par son expression :

A=02x3 dx+10x3 dx

Etape 4

Calculer les intégrales

On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Une primitive de xx3 sur est xx44.

On a donc :

A=[x44]02+[x44]10

A=(044(2)44)+(144044)

A=164+14=174

A vaut donc 174 u.a..

Etape 5

Donner l'aire dans l'unité demandée

Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.

Ainsi, si A=k u.a., on a alors A=k×n cm2.

Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :

A=174×4=17 cm2

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