Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Etudier le sens de variation d'une suite définie par une intégrale

Méthode 1

Si n est dans la fonction mais pas dans les bornes

L'énoncé peut définir une suite d'intégrale (In) et demander la monotonie de cette suite. Dans ce cas, la méthode à adopter dépend de la place de n dans l'intégrale. S'il se trouve uniquement dans la fonction sous l'intégrale et non dans les bornes de l'intégrale, on peut adopter la méthode suivante.

Soit (In) la suite définie par :

n,In=10enx2 dx

Déterminer la monotonie de cette suite.

Etape 1

Écrire In+1In

On commence par écrire la différence In+1In sous la forme d'une différence de deux intégrales.

Pour tout entier naturel n, on a :

In+1In=10e(n+1)x2 dx10enx2 dx

Etape 2

Utiliser la linéarité de l'intégrale

Les deux intégrales In+1 et In ayant les mêmes bornes, on peut utiliser la linéarité de l'intégration pour exprimer la différence In+1In sous la forme d'une unique intégrale.

Par linéarité de l'intégration, on a alors :

In+1In=10(e(n+1)x2enx2) dx

Etape 3

Factoriser l'intérieur de l'intégrale

On factorise l'expression de la fonction située sous l'intégrale dans la différence In+1In, de manière à pouvoir déterminer facilement le signe de cette fonction.

Il arrive que l'on puisse directement déterminer le signe de cette fonction sans avoir à factoriser.

On a donc :

In+1In=10(enx2×ex2enx2) dx

On factorise par enx2 :

In+1In=10enx2(ex21) dx

Etape 4

Déterminer le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale

On détermine le signe de la fonction sous l'intégrale définissant In+1In. Ce signe doit être constant sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale pour pouvoir conclure.

Pour tout réel x compris entre 0 et 1 :

  • x20 donc ex21 (car la fonction exponentielle est croissante sur ). Ainsi, ex210.
  • enx20

Par produit, on peut donc en conclure :

x[0;1], enx2(ex21)0

Etape 5

En conclure le signe de l'intégrale

En utilisant la positivité de l'intégration, on peut en déduire :

  • Si la fonction est positive, l'intégrale est positive et donc In+1In est positif.
  • Si la fonction est négative, l'intégrale est négative et donc In+1In est négatif.

Par positivité de l'intégration, on a :

10enx2(ex21) dx0

Donc, pour tout entier naturel n :

In+1In0

Etape 6

Donner les variations de la suite

  • Si, pour tout entier naturel n, In+1In0, on en déduit que la suite est croissante.
  • Si, pour tout entier naturel n, In+1In0, on en déduit que la suite est décroissante.

On en conclut que la suite (In) est croissante.

Méthode 2

Lorsque n est dans les bornes de l'intégrale

Si n se trouve uniquement dans une des deux bornes de l'intégrale et non dans la fonction sous l'intégrale, on peut adopter la méthode suivante.

Soit (In) la suite définie par :

n,In=n20xex dx

Déterminer la monotonie de cette suite.

Etape 1

Écrire In+1In

On commence par écrire la différence In+1In sous la forme d'une différence de deux intégrales, et ce pour un entier n entier quelconque fixé.

Soit n un entier naturel. On a :

In+1In=(n+1)20xex dxn20xex dx

Etape 2

Utiliser la relation de Chasles

On utilise ensuite la relation de Chasles pour exprimer la différence In+1In sous la forme d'une unique intégrale.

D'après la relation de Chasles et comme n2(n+1)2, on a :

(n+1)20xex dx=n20xex dx+(n+1)2n2xex dx

Donc, pour tout entier naturel n :

In+1In=n20xex dx+(n+1)2n2xex dxn20xex dx

In+1In=(n+1)2n2xex dx

Etape 3

Déterminer le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale

On détermine alors le signe de la fonction qui est sous l'intégrale grâce aux méthodes usuelles. Ce signe doit être constant sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale pour pouvoir conclure.

Pour tout réel x positif, on a :

  • x0
  • ex0

Par produit, on a donc, pour tout réel x positif :

xex0

Etape 4

En déduire le signe de l'intégrale et donc celui de In+1In

En utilisant la positivité de l'intégration, on peut en déduire :

  • Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc In+1In est positif.
  • Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc In+1In est négatif.

Par positivité de l'intégration, comme la fonction sous l'intégrale est positive sur + et comme n2(n+1)2, on a :

(n+1)2n2xex dx0

Et donc, pour tout entier naturel n :

In+1In0

Etape 5

Donner les variations de la suite

  • Si, pour tout entier naturel n, In+1In0, on en déduit que la suite est croissante.
  • Si, pour tout entier naturel n, In+1In0, on en déduit que la suite est décroissante.

On en conclut que la suite (In) est croissante.

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