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Calculer la probabilité d'un événement avec une loi continue

Avec une loi continue, la probabilité d'un événement est calculée à l'aide d'une intégrale.

On considère la variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda = \dfrac{1}{3}}\).

Calculer \(\displaystyle{p\left(X \geq 6\right)}\).

Etape 1

Déterminer une densité de X

On donne une densité f de X sur un intervalle I.

La variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda = \dfrac{1}{3}}\). Donc une densité de X est f avec :

\(\displaystyle{\forall x \in \left[ 0 ; +\infty \right[}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}}\)

Etape 2

Réciter la formule

On exprime alors la probabilité en fonction d'une intégrale :

  • \(\displaystyle{p\left(a \leq X \leq b\right) = \int_a^b f\left(t\right) dt}\)
  • \(\displaystyle{p\left( X \leq a\right) = \int_{x_0}^a f\left(t\right) dt}\), où \(\displaystyle{x_0}\) est la borne inférieure de I
  • \(\displaystyle{p\left( X \geq a\right) = 1 - p\left( X \leq a\right)= 1- \int_{x_0}^a f\left(t\right) dt}\)

Ainsi, on a :

\(\displaystyle{p\left( X \geq 6\right) = 1 - p\left( X \leq 6\right)= 1- \int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx}\)

Etape 3

Calculer l'intégrale et conclure

On calcule alors l'intégrale et on conclut sur la valeur de la probabilité.

On calcule l'intégrale :

\(\displaystyle{\int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx = \left[ -e^{-\frac{1}{3}x} \right]_0^6}\)

\(\displaystyle{\int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx =1-e^{-2}}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{p\left(X \geq 6 \right) = 1- \left(1-e^{-2}\right)}\)

On obtient finalement :

\(\displaystyle{p\left(X \geq 6 \right) = e^{-2}}\)

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