Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Les nombres complexes

I

Introduction

Le nombre i

i2=1

II

Forme algébrique

Forme algébrique

L'écriture z=x+iy avec x et y est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.

Partie réelle et partie imaginaire

Soit un nombre complexe z=x+iy :

  • on appelle partie réelle de z, notée Re(z), le réel x ;
  • on appelle partie imaginaire de z, notée Im(z), le réel y.

Conjugué

Soit un nombre complexe z=x+iy.
On appelle conjugué de z, noté z, le complexe :

xiy

Soient z et z deux nombres complexes.

  • z=z
  • z+z=2Re(z)
  • zz=2i Im(z)
  • z est réel z=z
  • z est imaginaire pur z=z
  • z+z=z+z
  • zz=zz
  • Si z non nul : (zz)=zz
  • Pour tout entier n : zn=(z)n
III

Module et argument

Module

Soit un nombre complexe z=x+iy.
On appelle module de z, noté |z|, le réel :

x2+y2

Soient z et z deux nombres complexes.

  • zz=|z|2
  • |z|=|z|
  • |z|=|z|
  • |zz|=|z|×|z|
  • Si z non nul : ||||zz||||=|z||z|
  • Pour tout entier n : |zn|=|z|n

Argument

On appelle argument de z, noté arg(z) la mesure en radians de l'angle orienté (u;OM) :

arg(z)=(u;OM)[2π]

-

Soient z et z deux nombres complexes non nuls.

  • arg(zz)=arg(z)+arg(z)[2π]
  • arg(1z)=arg(z)[2π]
  • arg(zz)=arg(z)arg(z)[2π]
  • Pour tout entier naturel n : arg(zn)=narg(z)[2π]
  • z est réel arg(z)=0[2π] ou arg(z)=π[2π]
  • z est imaginaire pur arg(z)=π2[2π] ou arg(z)=π2[2π]

Forme trigonométrique et exponentielle

Forme trigonométriqueForme exponentielle

Soit un nombre complexe z non nul d'argument θ. On peut alors exprimer z sous sa forme trigonométrique :

z=|z|(cos(θ)+isin(θ))

Soit un nombre complexe z non nul d'argument θ. On peut alors exprimer z sous sa forme exponentielle :

z=|z|eiθ

Interprétation géométrique

Distance

Soient A et B deux points d'affixes respectives zA et zB :

AB=|zBzA|

Angle

Soient A et B deux points d'affixes respectives zA et zB :

(u;AB)=arg(zBzA)

Argument d'un quotient (1)

Soient v1 et v2 deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z1 et z2 :

(v1;v2)=arg(z2z1)

Argument d'un quotient (2)

Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives zA, zB et zC :

(AB;AC)=arg(zCzAzBzA)

IV

Equation du second degré dans

Solutions d'une équation du second degré dans

Soit l'équation du second degré az2+bz+c=0 avec z, a, b et c.

Δ=b24ac

Les solutions de l'équation sont données dans le tableau suivant :

Valeur de ΔNombre et nature des solutionsValeur des solutions
Δ>02 solutions réellesz1=bΔ2a ou z2=b+Δ2a
Δ=01 solution double réellez0=b2a
Δ<02 solutions complexes conjuguéesz1=biΔ2a ou z2=b+iΔ2a
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