Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Calculer le module et un argument d'un nombre complexe

Afin de calculer le module ||z|| et un argument θ d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z=a+ib. On applique ensuite les formules du cours.

Déterminer le module et un argument du nombre complexe z suivant :

z=3+3i

Etape 1

Identifier Re(z) et Im(z)

Si cela n'est pas déjà fait, on simplifie l'écriture du nombre complexe z afin d'obtenir sa forme algébrique z=a+ib, avec a et b deux réels.

On peut ainsi facilement isoler la partie réelle et la partie imaginaire de z, on obtient :

  • Re(z)=a
  • Im(z)=b

z est déjà écrit sous forme algébrique.

On a :

  • Re(z)=3
  • Im(z)=3
Etape 2

Calculer le module

On rappelle que le module d'un nombre complexe z=a+ib est :

||z||=a2+b2

On calcule le module et on simplifie son expression si possible.

On sait que, pour tout nombre complexe z=a+ib :

||z||=a2+b2

Ici, on obtient :

||z||=(3)2+32

||z||=3+9

||z||=12

Finalement :

||z||=23

Etape 3

Écrire les égalités sur cos et sin

On rappelle qu'un argument θ d'un nombre complexe z vérifie :

  • cos(θ)=Re(z)||z||
  • sin(θ)=Im(z)||z||

On écrit ces égalités pour le complexe recherché.

Soit θ un argument de z. On sait que :

  • cos(θ)=Re(z)||z||
  • sin(θ)=Im(z)||z||

Donc, ici :

  • cos(θ)=323=12
  • sin(θ)=323=32
Etape 4

Déterminer un argument

À l'aide d'un cercle trigonométrique, on détermine la valeur de θ appartenant à ]π;π] qui correspond aux valeurs précédentes de cos(θ) et sin(θ).

-

À l'aide du cercle trigonométrique, on en conclut que :

θ=π3+2kπ, k

On ne peut pas déterminer un argument d'un nombre complexe z donné sous forme algébrique sans avoir préalablement calculé le module de celui-ci.

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