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Déterminer un ensemble de points par le calcul

Afin de déterminer par le calcul un ensemble E de points M d'affixe z, on pose \(\displaystyle{z=x+iy}\) (avec x et y deux réels) et on résout l'équation.

Déterminer par le calcul l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

\(\displaystyle{\left| z-3 \right|=7}\)

Etape 1

Ecrire la condition d'appartenance

On écrit la condition d'appartenance à l'ensemble E en remplaçant z par son écriture algébrique \(\displaystyle{x+iy}\), avec x et y deux réels.

On pose \(\displaystyle{z =x+iy}\), avec x et y deux réels.

L'équation devient :

\(\displaystyle{\left| x+iy -3 \right| =7}\)

Etape 2

Résoudre l'équation

Plusieurs cas peuvent se présenter :

Soit on peut directement résoudre l'équation et on obtient les coordonnées d'un point.

Soit on simplifie l'expression afin de reconnaître le type d'équation obtenu :

  • Une équation de cercle sous la forme : \(\displaystyle{\left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right) ^2 = r^2}\)
  • Une équation de droite sous la forme : \(\displaystyle{ax +by +c = 0}\)

Pour tous réels x et y :

\(\displaystyle{\left| x+iy -3 \right| =7}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\sqrt {\left(x-3\right)^2+y^2}=7}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+y^2=7^2}\)

On reconnaît une équation du cercle de centre A d'affixe \(\displaystyle{z_A=3}\) et de rayon \(\displaystyle{r=7}\).

Etape 3

Conclure

On conclut sur l'ensemble des points M.

L'ensemble des points M est donc le cercle de centre A d'affixe \(\displaystyle{z_A=3}\) et de rayon \(\displaystyle{r=7}\).

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