Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Les primitives

I

Primitives d'une fonction continue

Primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I qui vérifie, pour tout réel x de I :

F(x)=f(x)

Soient F et f, deux fonctions définies et dérivables sur , telles que, pour tout réel x :

  • F(x)=x35x+1
  • f(x)=3x25

On a, pour tout réel x, F(x)=3x25=f(x). Donc F est une primitive de f sur .

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme xF(x)+k, où k est un réel quelconque.

La fonction définie sur + par F(x)=8x1x est une primitive de la fonction f définie sur + de la fonction f(x)=8+1x2. Toutes les primitives de f sur + sont donc de la forme :

x8x1x+k avec k

Une fonction continue sur un intervalle I admet donc une infinité de primitives sur I.

II

Les primitives des fonctions usuelles

Soit un entier n et un réel k. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

f(x)F(x)I
kkx
xnxn+1n+1si n1 : 

si n2 : ];0[ et ]0;+[

1x2x]0;+[
1xln(x)]0;+[
exex
sin(x)cos(x)
cos(x)sin(x)
sin(ax+b)1acos(ax+b), avec a0
cos(ax+b)1asin(ax+b), avec a0
III

Opérations et primitives

Soit un entier n différent de 0 et −1. On désigne par u une fonction dérivable sur l'intervalle I ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

fFConditions
uunun+1n+1si n2, u(x)0 sur I
uuln(u)u>0
uu2uu>0
ueueu
usin(u)cos(u)
ucos(u)sin(u)
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