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Etudier la continuité d'une fonction en un réel

Afin d'étudier la continuité d'une fonction f en un réel a, il faut comparer \(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left(x\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(a\right)}\).

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[ 3 ; +\infty \right[}\) par :

\(\displaystyle{\begin{cases} f\left(3\right) = 0 \cr \cr \forall x \gt 3, \;f\left(x\right) = \sqrt{x-3} \end{cases}}\)

Etudier la continuité de la fonction f en 3.

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle qu'une fonction f est continue en \(\displaystyle{x=a}\) si et seulement si \(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right)}\).

La fonction f est continue en \(\displaystyle{x=3}\) si et seulement si \(\displaystyle{\lim_{x \to 3} f\left(x\right) = f\left(3\right)}\).

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{\lim_{x \to a}f\left(x\right)}\)

On calcule \(\displaystyle{\lim_{x \to a}f\left(x\right)}\).

On a :

\(\displaystyle{\forall x \gt 3, \;f\left(x\right) = \sqrt{x-3}}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 3}f\left(x\right) = 0}\)

Etape 3

Rappeler la valeur de \(\displaystyle{f\left(a\right)}\)

On rappelle la valeur de \(\displaystyle{f\left(a\right)}\).

D'après l'énoncé, \(\displaystyle{f\left(3\right)=0}\).

Etape 4

Conclure

On conclut :

  • Si \(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right)}\) alors f est continue en a.
  • Si \(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left(x\right) \neq f\left(a\right)}\) alors f n'est pas continue en a.

Ainsi, on a :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 3}f\left(x\right) = f\left(3\right)}\)

La fonction f est donc continue en \(\displaystyle{x=3}\).

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