Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

La géométrie dans l'espace

I

Les intersections dans l'espace

A

L'intersection de deux droites

Soient D et D' deux droites de l'espace.

Si les droites D et D ne sont pas coplanaires, leur intersection est vide.

-

Si les droites de l'espace D et D sont coplanaires et strictement parallèles (parallèles et distinctes), leur intersection est vide.

-

Si les droites D et D sont coplanaires et confondues, leur intersection est la droite D.

-

Si les droites D et D sont coplanaires et non parallèles, leur intersection est un point.

-
B

L'intersection d'une droite et d'un plan

Soient D et P une droite et un plan de l'espace.

Si la droite D est strictement parallèle au plan P, c'est-à-dire qu'elle est parallèle au plan P et qu'elle n'est pas dans le plan P, l'intersection de la droite D et du plan P est vide.

-

Si la droite D est contenue dans le plan P, l'intersection de la droite D et du plan P est la droite D.

-

Si la droite D n'est pas parallèle au plan P, l'intersection de la droite D et du plan P est un point.

-
C

L'intersection de deux plans

Soient P et P' deux plans de l'espace.

Si les plans P et P sont strictement parallèles (parallèles et non confondus), l'intersection des plans P et P est vide.

-

Si les plans P et P sont confondus, l'intersection des plans P et P est le plan P.

-

Si les plans P et P ne sont pas parallèles, l'intersection des plans P et P est une droite.

-

Si deux plans distincts ont un point en commun, leur intersection est alors une droite.

D

L'intersection de trois plans

Soient P, P' et P'' trois plans de l'espace.

L'intersection des plans P, P et P peut être vide.

-

L'intersection des plans P, P et P peut être un plan (les trois plans sont alors confondus).

-

L'intersection des plans P, P et P peut être une droite.

-

L'intersection des plans P, P et P peut être un point.

-
E

Le parallélisme

  • Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
  • Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle à tous les plans contenant cette seconde droite.
  • Si une droite est parallèle à deux plans sécants, elle est parallèle à leur droite d'intersection.
  • Si deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à un second plan, les deux plans sont alors parallèles.
  • Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux.

Deux droites peuvent n'avoir aucun point en commun et ne pas être parallèles.

Toutes les propriétés de géométrie plane restent valables dans un plan de l'espace.

Théorème du toit

Soient deux plans P et P ayant pour intersection la droite Δ. Si d appartenant à P et d appartenant à P sont parallèles, alors ces deux droites sont également parallèles à Δ.

-
II

L'orthogonalité dans l'espace

A

L'orthogonalité de droites

Droites orthogonales

Deux droites sont orthogonales s'il existe une parallèle à la première qui est perpendiculaire à la seconde.

Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est alors orthogonale à l'autre.
B

L'orthogonalité d'une droite et d'un plan

Droite orthogonale à un plan

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

  • Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
  • Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est alors orthogonal à l'autre.
  • Si deux droites sont orthogonales à un même plan, elles sont alors parallèles.
  • Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
  • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, ils sont alors parallèles.
C

Le plan médiateur

Plan médiateur

On appelle plan médiateur d'un segment le plan orthogonal à ce segment qui passe par son milieu.

-

Le plan médiateur d'un segment est formé de l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

III

La géométrie vectorielle dans l'espace

A

Les vecteurs de l'espace

Vecteur de l'espace

Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une longueur.

Soient u et v deux vecteurs de l'espace et k un réel quelconque. On définit ku et u+v comme dans le plan.

Comme dans le plan, la relation de Chasles est valide dans l'espace.

Plan

Un plan est caractérisé, au choix, par :

  • Trois points non alignés
  • Un point et deux vecteurs non colinéaires
  • Deux droites sécantes
  • une droite et un point n'appartenant pas à cette droite

Vecteurs coplanaires

Soient u et v deux vecteurs non colinéaires de l'espace. Soit w un autre vecteur de l'espace. Les vecteurs u, v et w sont dits coplanaires s'il existe des représentants de ces trois vecteurs appartenant à un même plan.

Soient u et v deux vecteurs non colinéaires de l'espace. Soit w un autre vecteur de l'espace. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels a et b tels que :

w=au+bv

Si w=2u5v alors les vecteurs u, v et w sont coplanaires.

Deux vecteurs sont toujours coplanaires.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs de l'espace sont dits orthogonaux s'ils admettent des directions orthogonales.

B

Le repérage dans l'espace

Coordonnées d'un point de l'espace

Si i, j et k sont trois vecteurs non coplanaires et O un point de l'espace, on peut alors définir le repère de l'espace (O;i;j;k).
Dans ce repère, tout point M est identifié par un unique triplet de réels (x;y;z) tel que :

OM=xi+yj+zk

Le triplet (x;y;z) est appelé coordonnées du point M, et on note :

M (x;y;z)

On appelle x l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote du point M.

Le point A(3;1;8) a pour abscisse 3, ordonnée −1 et cote 8.

Repères

  • Un repère (O;i,j,k) est dit orthogonal si les vecteurs i, j et k sont deux à deux orthogonaux.
  • Un repère (O;i,j,k) est dit orthonormal ou orthonormé si de plus les vecteurs i, j et k ont même norme.

Coordonnées du milieu d'un segment

Soient A et B deux points de coordonnées respectives (xA;yA;zA) et (xB;yB;zB) dans un repère de l'espace. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

I (xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)

Soient A(2;1;1) et B(2;4;1). Soit I le milieu du segment [AB]. Les coordonnées de I sont :

I(222;1+42;112) soit I(0;52;0).

Distance

Soient A et B deux points de coordonnées respectives (xA;yA;zA) et (xB;yB;zB) dans un repère orthonormal de l'espace. La distance AB est égale à :

AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2

Soient A(2;1;1) et B(2;4;1).

AB=(22)2+(41)2+(11)2=16+9+4=29

C

Systèmes d'équations paramétriques d'une droite

Système d'équations paramétriques d'une droite

Soient A(x0;y0;z0) un point de l'espace et u(a;b;c) un vecteur non nul.
La droite Δ passant par A et de vecteur directeur u est l'ensemble des points de l'espace de coordonnées (x;y;z) vérifiant le système d'équations paramétrique suivant :

x=x0+kay=y0+kbz=z0+kc,k

Soit Δ une droite passant par le point A(1;2;3) et de vecteur directeur u(4;5;7).

Un système d'équations paramétriques de Δ est :

x=1+4ky=25kz=3+7k avec k.

D

Systèmes d'équations paramétriques d'un plan

Système d'équations paramétriques d'un plan

Soient A(x0;y0;z0) un point de l'espace et u(a;b;c), v(a;b;c) deux vecteurs non colinéaires.
Le plan P passant par A et de vecteurs directeurs u et v est l'ensemble des points de l'espace de coordonnées (x;y;z) vérifiant le système d'équations paramétriques suivant :

x=x0+ka+kay=y0+kb+kbz=z0+kc+kc, avec k et k

Soit P un plan passant par le point A(1;2;3), de vecteurs directeurs u(4;5;7) et v(2;1;8). u et v ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

Un système d'équations paramétriques de P est :

x=1+4k+2ky=25kkz=3+7k+8k avec k et k.

IV

Le produit scalaire dans l'espace

A

Caractérisation

Produit scalaire

Soient u et v deux vecteurs non nuls de l'espace et soit A un point de l'espace. Il existe alors un plan P qui contient les points A, B et C tels que u=AB et v=AC.
Le produit scalaire uv est alors égal au produit scalaire ABAC dans le plan P.

Toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan sont applicables dans l'espace.
B

L'expression analytique

Expression analytique du produit scalaire

Soit un repère orthonormal de l'espace (O;i;j;k).
Le produit scalaire des vecteurs u(x;y;z) et v(x;y;z) est égal à :

uv=xx+yy+zz

Soient u(1;2;5) et v(1;7;6) deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormal.

uv=1×1+2×7+(5)×(6)=1+14+30=43

C

Équations cartésiennes d'un plan

Vecteur normal à un plan

Un vecteur non nul n est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.

Equation cartésienne d'un plan

Soit nabc un vecteur non nul.
Une équation cartésienne d'un plan P admettant n pour vecteur normal est :

ax+by+cz+d=0, où d

Réciproquement, un plan P de l'espace admet une équation cartésienne de la forme :

ax+by+cz+d=0

et le vecteur nabc est alors normal à P.

-

Un vecteur normal du plan P d'équation cartésienne 4x2y+z+11=0 est le vecteur n(4;2;1).

D

Équations cartésiennes d'une sphère

Equation cartésienne d'une sphère

Dans un repère orthonormal, une équation cartésienne de la sphère de centre I(a;b;c) et de rayon R est :

(xa)2+(yb)2+(zc)2=R2

Soit une sphère S de centre I(4;2;3) et de rayon 10. Une équation cartésienne de S est :

(x4)2+(y+2)2+(z3)2=100

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