Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Montrer qu'un point appartient à une droite

Un point A appartient à une droite D dont on connaît une représentation paramétrique si et seulement s'il existe un unique réel t tel que les coordonnées de A vérifient le système.

On considère la droite D dont on donne une représentation paramétrique :

x=2+ty=1+tz=3+2t, t

Déterminer si le point A(4;1;7) appartient à la droite D.

Etape 1

Rappeler la représentation paramétrique de la droite

On rappelle la représentation paramétrique de la droite donnée dans l'énoncé.

D'après l'énoncé, on a :

x=2+ty=1+tz=3+2t, t

Etape 2

Remplacer les coordonnées du point

On remplace les coordonnées du point A dans la représentation paramétrique.

On a A(4;1;7). On remplace ses coordonnées dans la représentation paramétrique de D.

A appartient à la droite D si et seulement s'il existe un réel t tel que :

4=2+t1=1+t7=3+2t

Etape 3

Résoudre le système et conclure

On résout le système.

Deux cas se présentent alors :

  • Le système est impossible (on obtient plusieurs valeurs différentes de t). Dans ce cas, le point A n'appartient pas à la droite D.
  • On obtient une solution t0. Dans ce cas, le point A appartient à la droite D.

On résout le système :

4=2+t1=1+t7=3+2t

t=2t=22t=4

t=2t=2t=2

On en déduit que le point A appartient à la droite D.

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