Terminale S 2015-2016

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Encadrer une intégrale

Méthode 1

En encadrant la fonction intégrée

Lorsque l'on ne peut pas calculer la valeur de \(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) car on ne connaît pas de primitive de la fonction sous l'intégrale, l'énoncé peut demander d'encadrer cette intégrale. On peut obtenir cet encadrement à partir d'un encadrement de la fonction f.

Soit n un entier naturel. Démontrer l'inégalité suivante :

\(\displaystyle{\int_{0}^{1} x^{n}e^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}}\)

Etape 1

Repérer les éléments à conserver dans l'expression de f

L'encadrement voulu est toujours donné par l'énoncé. On y repère donc les éléments qui doivent être conservés lors de l'encadrement de f.

On constate que l'entier n est présent dans le terme de droite. Il faut donc penser à le conserver quand on majorera \(\displaystyle{x^ne^{-x}}\).

Etape 2

Encadrer la fonction f

On encadre la fonction f sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\). On démontre donc un encadrement de la forme suivante :

\(\displaystyle{\forall x\in \left[ a;b \right], u\left( x \right)\leqslant f\left( x \right)\leqslant v\left( x \right)}\)

On encadre d'abord \(\displaystyle{e^{-x}}\) sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\).

Soit x un réel compris entre 0 et 1. On a :

\(\displaystyle{-1\leqslant -x \leqslant0}\)

La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) :

\(\displaystyle{e^{-1}\leqslant e^{-x} \leqslant e^{-0}}\)

En gardant uniquement la majoration, on a :

\(\displaystyle{e^{-x}\leqslant1}\)

On multiplie par \(\displaystyle{x^{n}}\) qui est positif. On obtient donc :

\(\displaystyle{x^{n}e^{-x}\leqslant x^n}\)

Etape 3

Utiliser les comparaisons d'intégrales

On s'assure que \(\displaystyle{a\leqslant b}\).

Grâce à l'encadrement trouvé dans l'étape précédente, on a alors, par comparaison d'intégrales :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} u\left(x\right) \ \mathrm dx\leqslant\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leqslant\int_{a}^{b} v\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

On calcule \(\displaystyle{\int_{a}^{b} u\left(x\right) \ \mathrm dx}\) et \(\displaystyle{\int_{a}^{b} v\left(x\right) \ \mathrm dx}\) pour obtenir l'encadrement voulu.

0 est bien inférieur à 1. Donc, d'après l'inégalité précédente, par comparaison d'intégrales, on a :

\(\displaystyle{\int_{0}^{1} x^ne^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{1} x^n \ \mathrm dx}\)

Or :

\(\displaystyle{\int_{0}^{1} x^n \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]^1_0=\dfrac{1^{n+1}}{n+1}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}}\)

On peut donc conclure :

\(\displaystyle{\int_{0}^{1} x^{n}e^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}}\)

Méthode 2

En utilisant l'inégalité de la moyenne

On peut parfois obtenir directement un encadrement d'intégrale grâce à l'inégalité de la moyenne.

Démontrer l'inégalité suivante :

\(\displaystyle{0\leqslant \int_{0}^{1} xe^x \ \mathrm dx\leqslant e}\)

Etape 1

Énoncer les propriétés de l'inégalité de la moyenne

Si f est une fonction continue sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\) (\(\displaystyle{a\leqslant b}\)), minorée par m et majorée par M sur cet intervalle, on a, d'après l'inégalité de la moyenne :

\(\displaystyle{m\left( b-a \right)\leqslant \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant M\left( b-a \right)}\)

Si f est une fonction continue sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\) (\(\displaystyle{a\leqslant b}\)), minorée par m et majorée par M sur cet intervalle, on a, d'après l'inégalité de la moyenne :

\(\displaystyle{m\left( b-a \right)\leqslant \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant M\left( b-a \right)}\)

Etape 2

Déterminer un majorant et un minorant de f

On détermine tout d'abord un minorant et un majorant de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), ce qui revient à démontrer une inégalité de la forme \(\displaystyle{m\leqslant f\left( x \right)\leqslant M}\), où m et M ne dépendent pas de x.

Soit x un réel compris entre 0 et 1. On a :

  • \(\displaystyle{0\leqslant x \leqslant 1}\)
  • \(\displaystyle{e^0\leqslant e^x \leqslant e^1}\) car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

Les deux quantités étant positives, par produit, on a :

\(\displaystyle{0\times e^0\leqslant xe^x \leqslant 1\times e}\)

Soit :

\(\displaystyle{0\leqslant xe^x \leqslant e}\)

Etape 3

Écrire l'inégalité obtenue

On remplace m et M par les valeurs trouvées dans l'étape 1 pour obtenir l'encadrement souhaité.

En appliquant l'inégalité de la moyenne à la fonction \(\displaystyle{f:x\longmapsto xe^x}\) entre 0 et 1, d'après le résultat de l'étape 2, on a :

\(\displaystyle{0\times\left(1-0\right) \leqslant \int_{0}^{1} xe^x \ \mathrm dx\leqslant e\times\left(1-0\right)}\)

On peut donc conclure :

\(\displaystyle{0 \leqslant \int_{0}^{1} xe^x \ \mathrm dx\leqslant e}\)