Terminale S 2015-2016

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Etudier la position relative d'une courbe et d'une droite

Il est souvent demandé de déterminer la position relative d'une courbe et d'une droite (le plus souvent une tangente ou une asymptote), c'est-à-dire de déterminer laquelle est graphiquement située au-dessus de l'autre. Ce problème revient à étudier le signe d'une différence.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=\dfrac{x^2+1}{x+1}}\)

Déterminer la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et de la droite D d'équation \(\displaystyle{y=x-1}\).

Etape 1

Énoncer la démarche

Avant de commencer les calculs, on explique la démarche :

"Pour étudier la position relative de la courbe \(\displaystyle{C_{f}}\) et de la droite D d'équation \(\displaystyle{y=ax+b}\), on étudie le signe de \(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( ax+b \right)}\)."

Pour étudier la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et de D, on étudie le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)-\left( x-1 \right)}\) pour tout réel x différent de −1.

Etape 2

Calculer et simplifier \(\displaystyle{f\left(x\right)-\left(ax+b\right)}\)

On calcule et simplifie autant que possible la différence \(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( ax+b \right)}\), de manière à obtenir une expression dont on puisse facilement déterminer le signe.

Pour tout réel x différent de −1, on a :

\(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( x-1 \right)=\dfrac{x^2+1}{x+1}-\left( x-1 \right)}\)

\(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( x-1 \right)=\dfrac{x^2+1}{x+1}-\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x+1}}\)

On réduit au même dénominateur et on reconnaît une identité remarquable du type \(\displaystyle{\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2}\), pour tous réels a et b.

\(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( x-1 \right)=\dfrac{x^2+1-\left( x^2-1 \right)}{x+1}}\)

Soit :

\(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( x-1 \right)=\dfrac{2}{x+1}}\)

Etape 3

Étudier le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)-\left(ax+b\right)}\)

On étudie alors le signe de la différence \(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( ax+b \right)}\) en distinguant les cas selon les valeurs de x si nécessaire. Un tableau de signes peut s'avérer utile dans les cas les plus compliqués.

On a :

  • \(\displaystyle{2\gt0}\)
  • \(\displaystyle{x+1\gt 0 \Leftrightarrow x\gt-1}\)

On en déduit donc le signe de la différence :

-
Etape 4

Conclure sur la position relative

Finalement, on conclut :

  • Sur les intervalles où \(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( ax+b \right)\gt0}\), \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de D.
  • Sur les intervalles où \(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( ax+b \right)\lt0}\), \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de D.
  • Lorsque \(\displaystyle{f\left( x \right)-\left( ax+b \right)=0}\), \(\displaystyle{C_f}\) et D ont un point d'intersection.

Finalement, on peut conclure :

  • \(\displaystyle{C_{f}}\) est au-dessus de D sur \(\displaystyle{\left] -1;+\infty \right[}\).
  • \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de D sur \(\displaystyle{\left] -\infty;-1 \right[}\).