Se connecter
ou

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de cookies. En savoir plus : Conditions générales d'utilisation

J'ai compris

Les lois à densité

I

Loi uniforme

Loi uniforme sur [a ; b]

Fonction de densité sur \(\displaystyle{\left[a;b\right]}\) \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{b-a}}\)
Probabilité

Pour tous réels \(\displaystyle{c}\) et \(\displaystyle{d}\) tels que \(\displaystyle{a \leq c \leq d \leq b }\) :

\(\displaystyle{P\left(c \leq X \leq d\right) = \dfrac{d-c}{b-a}}\)

Espérance \(\displaystyle{E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}}\)
II

Loi exponentielle

Loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda\gt0}\)

Fonction de densité sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) \(\displaystyle{f\left(t\right)=\lambda e^{-\lambda t}}\)
Probabilité

\(\displaystyle{P\left(a \leq X \leq b\right) =\int_{a}^{b}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt}\)

Espérance \(\displaystyle{E\left(X\right) = \dfrac{1}{\lambda}}\)

Soit un réel positif \(\displaystyle{a}\).

  • \(\displaystyle{P\left(X \leq a\right) =\int_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt= 1 - e^{-\lambda a}}\)
  • \(\displaystyle{P\left(X \gt a\right) = 1 - P\left(X \leq a\right) = e^{-\lambda a}}\)

Loi de durée de vie sans vieillissement

Soit \(\displaystyle{T}\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\) (\(\displaystyle{\lambda\gt0}\)).

Pour tous réels positifs \(\displaystyle{t}\) et \(\displaystyle{h}\) :

\(\displaystyle{P_{T \geq t}\left(T\geq t+h\right)=P\left(T\geq h\right)}\)

III

Loi normale

Loi normale centrée réduite \(\displaystyle{N\left(0;1\right)}\)

Fonction de densité sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}}\)
Probabilité

\(\displaystyle{P\left(X \leq a\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{a}e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt}\)

Espérance \(\displaystyle{E\left(X\right) = 0}\)
Variance \(\displaystyle{V\left(X\right)=1}\)

Loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\)

Définition Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\) si la variable aléatoire \(\displaystyle{\dfrac{X-\mu}{\sigma}}\) suit la loi normale centrée réduite.
Espérance \(\displaystyle{E\left(X\right) = \mu}\)
Variance \(\displaystyle{V\left(X\right)=\sigma^2}\)

Valeurs remarquables de la loi normale

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\), on a les valeurs remarquables suivantes :

\(\displaystyle{P\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0,68}\)

\(\displaystyle{P\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0,95}\)

\(\displaystyle{P\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0,997}\)

Identifie-toi pour voir plus de contenu

Pour avoir accès à l'intégralité des contenus de Kartable et pouvoir naviguer en toute tranquillité,
connecte-toi à ton compte. Et si tu n'es toujours pas inscrit, il est grand temps d'y remédier.