Terminale S 2015-2016

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Déterminer un ensemble de points géométriquement

Méthode 1

Avec une équation de la forme \(\displaystyle{\left| z-z_A \right|=k}\)

L'ensemble des points M d'affixe z tels que \(\displaystyle{\left| z+a+ib \right|= k}\),avec \(\displaystyle{k \in\mathbb{R}}\) et a et b deux réels, est le cercle de centre A d'affixe \(\displaystyle{z_A = -a-ib}\) et de rayon k.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

\(\displaystyle{\left| z-2+i \right|=5}\)

Etape 1

Poser le point nécessaire

On pose le point A d'affixe \(\displaystyle{z_A}\) afin de se ramener à une équation de la forme \(\displaystyle{\left| z-z_A \right| = k}\).

On pose le point A d'affixe \(\displaystyle{z_A = 2-i}\).

On en déduit que pour tout nombre complexe z :

\(\displaystyle{\left| z-2+i \right|=5 \Leftrightarrow \left| z-z_A\right|=5}\)

Etape 2

Donner la condition en termes de distance

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

\(\displaystyle{\left| z-z_A \right|=AM}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{\left| z-z_A \right|= k \Leftrightarrow AM=k}\)

En exprimant la condition en termes de distance, on obtient :

\(\displaystyle{\forall z\in\mathbb{C}}\), \(\displaystyle{\left| z-z_A \right| =5 \Leftrightarrow AM= 5}\)

Etape 3

Conclure

L'ensemble des points M est donc l'ensemble des points situés à une distance k du point M.

On en conclut que l'ensemble des points M est le cercle de centre \(\displaystyle{A\left(z_A\right)}\) et de rayon k.

Ainsi, l'ensemble des points M est le cercle de centre A d'affixe \(\displaystyle{z_A = 2-i}\) et de rayon 5.

Méthode 2

Avec une équation de la forme \(\displaystyle{\left| z-z_A \right|=\left| z-z_B \right|}\)

L'ensemble des points M d'affixe z tels que \(\displaystyle{\left| z+a+ib\right|= \left| z+c+id \right|}\), tels que a, b, c et d soient des réels, est la médiatrice de [AB] avec A le point d'affixe \(\displaystyle{z_A=-a-ib}\) et B le point d'affixe \(\displaystyle{z_B = -c-id}\).

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

\(\displaystyle{\left| z+3-2i \right|=\left| z-4i \right|}\)

Etape 1

Poser les points nécessaires

On pose les points A d'affixe \(\displaystyle{z_A = -a-ib}\) et B d'affixe \(\displaystyle{z_B = -c-id}\) afin de se ramener à une équation de la forme \(\displaystyle{\left| z-z_A \right| = \left| z-z_B \right| }\).

On pose les points A d'affixe \(\displaystyle{z_A = -3+2i}\) et B d'affixe \(\displaystyle{z_B = 4i}\).

On en déduit que pour tout nombre complexe z :

\(\displaystyle{\left| z+3-2i \right|=\left| z-4i \right| \Leftrightarrow\left| z-z_A \right| = \left| z-z_B \right| }\)

Etape 2

Donner la condition en termes de distance

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

  • \(\displaystyle{\left| z-z_A \right|=AM}\)
  • \(\displaystyle{\left| z-z_B \right|=BM}\)

On en déduit que \(\displaystyle{\left| z-z_A \right|= \left| z-z_B \right| \Leftrightarrow AM=BM}\).

En exprimant la condition en termes de distance, on obtient :

\(\displaystyle{\forall z\in\mathbb{C}}\), \(\displaystyle{\left| z-z_A \right| = \left| z-z_B \right| \Leftrightarrow AM = BM}\)

Etape 3

Conclure

Par conséquent, il s'agit des points M situés à égale distance des points A et B.

On en conclut que l'ensemble des points M d'affixe z est la médiatrice de [AB] avec A et B les points d'affixes \(\displaystyle{z_A }\) et \(\displaystyle{z_B}\).

Ainsi, l'ensemble des points M d'affixe z est la médiatrice de [AB] avec A et B les points d'affixe \(\displaystyle{z_A = -3+2i}\) et \(\displaystyle{z_B = 4i}\).

Méthode 3

Avec un ensemble de points défini par un argument

L'ensemble des points M d'affixe z tels que \(\displaystyle{arg \left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \alpha + k2\pi}\), avec \(\displaystyle{\alpha}\) la mesure d'un angle et les points A, B et C les points d'affixes \(\displaystyle{z_A}\), \(\displaystyle{z_B}\) et \(\displaystyle{z_C}\), est la droite privée de A telle que \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{AM}\right) = \alpha + 2k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

On considère le point B d'affixe \(\displaystyle{z_B = 1+i}\).

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

\(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z-2-4i}{z_B-2-4i}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)

Etape 1

Créer le ou les point(s) nécessaire(s)

On crée si nécessaire les points A, B et C d'affixe \(\displaystyle{z_A}\), \(\displaystyle{z_B}\) et \(\displaystyle{z_C}\) afin de se ramener à une condition de la forme \(\displaystyle{arg \left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \alpha + k2\pi}\).

On pose le point A d'affixe \(\displaystyle{z_A = 2+4i}\).

On en déduit que :

\(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z-2-4i}{z_B-2-4i}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \Leftrightarrow arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi}\)

Etape 2

Donner la condition en termes d'angle

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

\(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AM}\right)}\)

On en déduit que \(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \alpha+ k2\pi \Leftrightarrow\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AM}\right) = \alpha+ k2\pi}\)

En exprimant la condition en termes d'angle, on obtient :

\(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}\right) = \dfrac{\pi}{4}}\)

Etape 3

Conclure

On en conclut que l'ensemble des points M est la droite (AM) privée de A formant un angle de mesure \(\displaystyle{\alpha }\) avec la droite (BC).

On conclut que l'ensemble des points M est la droite (AM) privée de A formant un angle de mesure \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}\) avec la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\).

  • Si le complexe Z doit être un réel, cela implique que \(\displaystyle{arg\left(Z\right) = 0+ k\pi}\) et donc des points alignés ou des droites parallèles.
  • Si le complexe Z doit être un imaginaire pur, cela implique que \(\displaystyle{arg\left(Z\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi}\) et donc des droites perpendiculaires.
Chapitre 10 Les nombres complexes
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