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Résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans C

On peut résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) une équation du second degré à coefficients réels \(\displaystyle{ax^2+bx+c= 0}\) dont le discriminant est négatif.

Résoudre l'équation suivante dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) :

\(\displaystyle{z^2-2z+2=0}\)

Etape 1

Calculer le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\)

On calcule le discriminant :

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\)

On calcule le discriminant :

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta = \left(-2\right)^2-4\times 1 \times 2}\)

\(\displaystyle{\Delta = -4}\)

Etape 2

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que :

  • si \(\displaystyle{\Delta \gt 0 }\), l'équation admet deux solutions réelles distinctes \(\displaystyle{x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) et \(\displaystyle{x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\).
  • Si \(\displaystyle{\Delta = 0 }\) , l'équation admet une solution réelle \(\displaystyle{x_0 = \dfrac{-b}{2a}}\).
  • Si \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\), l'équation admet deux solutions complexes conjuguées \(\displaystyle{z_1 = \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}}\) et \(\displaystyle{z_2 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}}\).

\(\displaystyle{\Delta \lt 0}\), l'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :

  • \(\displaystyle{z_1 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}}\)
  • \(\displaystyle{z_2 =\overline{z_1}= \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}}\)
Etape 3

Calculer les solutions

On calcule les solutions de l'équation.

On calcule les solutions :

  • \(\displaystyle{z_1 = \dfrac{2+i\sqrt{4}}{2}=1+i}\)
  • \(\displaystyle{z_2 =\overline{z_1}=1-i}\)

On conclut que l'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S=\left\{ 1-i;1+i \right\}}\)

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