Terminale S 2015-2016

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Les primitives

Primitives des fonctions usuelles

Soit un entier \(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{k}\) un réel ; la fonction \(\displaystyle{F}\) est une primitive de \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{F\left(x\right)}\) \(\displaystyle{I}\)
\(\displaystyle{k}\) \(\displaystyle{kx}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}\) si \(\displaystyle{n \geq 1 \text{ }:\text{ } \mathbb{R}}\)

si \(\displaystyle{n \leq - 2\text{ } : \text{ }\left]- \infty ; 0\right[}\) et \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x}}\) \(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) \(\displaystyle{- \cos\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\cos\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{-\dfrac{1}{a}\cos\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)
\(\displaystyle{\cos\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}\sin\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)

Opérations et primitives

Soit un entier \(\displaystyle{n}\) différent de 0 et −1. On désigne par \(\displaystyle{u}\) et \(\displaystyle{v}\) deux fonctions dérivables sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\) ; la fonction \(\displaystyle{F}\) est une primitive de \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{F}\) Conditions
\(\displaystyle{u'u^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{u^{n+1}}{n + 1}}\) si \(\displaystyle{n \leq- 2 \text{ }:\text{ } u\left(x\right) \neq 0}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u’}{u}}\) \(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) \(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u’}{\sqrt{u}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{u}}\) \(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{u'e^{u}}\) \(\displaystyle{e^{u}}\)
\(\displaystyle{u'\sin\left(u\right)}\) \(\displaystyle{- \cos\left(u\right)}\)
\(\displaystyle{u'\cos\left(u\right)}\) \(\displaystyle{\sin\left(u\right)}\)