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ou

Les suites

I

Etude globale d'une suite

A

Les suites majorées, minorées, bornées

Suite majorée

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

\(\displaystyle{u_{n} \leq M}\)

Soit \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) la suite définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N^*}, u_n=\dfrac1n}\)

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

\(\displaystyle{\dfrac1n\leq1}\)

La suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est donc majorée par 1.

Suite minorée

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est minorée si et seulement s'il existe un réel \(\displaystyle{m}\) tel que, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel la suite est définie :

\(\displaystyle{u_{n} \geq m}\)

Soit \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) la suite définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N^*}, u_n=\dfrac1n}\)

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

\(\displaystyle{\dfrac1n\geq0}\)

La suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est donc minorée par 0.

Suite bornée

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

La suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) définie pour tout entier naturel non nul n par \(\displaystyle{u_n=\dfrac1n}\) est à la fois minorée par 0 et majorée par 1.

Elle est donc bornée et on peut écrire :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N}^*,0\leq u_n\leq1}\)

B

Le sens de variation

Suite croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel la suite est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} \geq u_{n}}\)

Considérons la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=12}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n }\)

On a, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2}\)

Or, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{\left(u_n \right)^2\geq0}\)

Ainsi, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\geq0}\)

Donc, pour tout n :

\(\displaystyle{u_{n+1}\geq u_n}\)

Donc la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) est croissante.

Suite décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel la suite est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} \leq u_{n}}\)

Considérons la suite définie pour tout entier naturel non nul par :

\(\displaystyle{u_n=\dfrac1n}\)

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}}\)

Or, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\leqslant0}\)

Ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\leq0}\)

Soit, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{u_{n+1}\leq u_n}\)

Par conséquent la suite \(\displaystyle{\left( u_n\right)}\) est décroissante.

Suite constante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel la suite est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n}}\)

Suite monotone

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

C

Suites arithmétiques et géométriques

1

Suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est arithmétique si et seulement s'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} + r}\)

r est alors la raison de la suite arithmétique.

On considère la suite définie par : \(\displaystyle{\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=u_n-2, \text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}}\)

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est donc arithmétique de raison −2.

Soit \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) une suite arithmétique de raison r.

  • Si \(\displaystyle{r\gt0}\), la suite est strictement croissante.
  • Si \(\displaystyle{r\lt0}\), la suite est strictement décroissante.
Terme général d'une suite arithmétique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} + nr}\)

Soit \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) une suite arithmétique de raison \(\displaystyle{r=-2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\).

On a, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n=3-2n}\)

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite arithmétique. La somme S des termes consécutifs de cette suite est égale à :

\(\displaystyle{S=\dfrac{\left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right) \times\left(\text{Nombre de termes}\right)}{2}}\)

En particulier :

\(\displaystyle{u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} =\dfrac{\left(n + 1\right) \left(u_{0} + u_{n}\right)}{2}}\)

Soit \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) une suite arithmétique de raison \(\displaystyle{r=8}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=16}\).

On a donc, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n=16+8n}\)

On souhaite calculer la somme suivante :

\(\displaystyle{S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}}\)

On a :

\(\displaystyle{S=\dfrac{\left(25+1\right)\left(u_0+u_{25}\right)}{2}=\dfrac{26\times\left(16+16+8\times25\right)}{2}=3\ 016}\)

Le nombre de termes entre les entiers naturels a et b vaut \(\displaystyle{\left(b-a+1\right)}\).

On souhaite calculer :

\(\displaystyle{S=u_3+u_4+...+u_9}\)

Entre 9 et 3, il y a \(\displaystyle{9-3+1=7}\) termes.

2

Suites géométriques

Suite géométrique

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} \times q}\)

q est alors appelé raison de la suite.

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=1}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1} = 3u_{n}}\)

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc géométrique de raison 3.

Soit q un réel strictement positif, et la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) définie pour tout entier naturel n par \(\displaystyle{u_n=q^n}\).

  • Si \(\displaystyle{q\gt1}\), la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est strictement croissante.
  • Si \(\displaystyle{0\lt q\lt1}\), la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est strictement décroissante.
  • Si \(\displaystyle{q=1}\), la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est constante.
Terme général d'une suite géométrique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} \times q^{n}}\)

Soit \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q=2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\).

On a alors, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n=3\times2^n}\)

Somme des termes d'une suite géométrique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q \neq 1}\). La somme S des termes consécutifs de cette suite vaut :

\(\displaystyle{S=\text{Premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}}\)

En particulier, si la suite est définie dès le rang 0, alors, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} = u_{0}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\)

Soit \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q=5}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=4}\).

On souhaite calculer la somme suivante :

\(\displaystyle{S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}}\)

On a :

\(\displaystyle{S=u_0\times \dfrac{1-q^{25+1}}{1-q}=4\times\dfrac{1-5^{26}}{1-5}=5^{26}-1}\)

II

Limites

A

Limite finie ou infinie

La limite d'une suite ne peut être étudiée qu'en \(\displaystyle{+ \infty }\).

Limite finie

\(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) tend vers le réel L quand n tend vers \(\displaystyle{+\infty }\) si et seulement si tout intervalle ouvert (aussi petit que l'on veut) contenant L contient tous les termes \(\displaystyle{u_{n}}\) à partir d'un certain rang.

Le réel L est appelé limite (finie) de la suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\). On note :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } u_n = L}\)

-

Unicité de la limite

Si elle existe, la limite L de la suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est unique.

Suite divergente vers \(\displaystyle{+\infty}\)

\(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) tend vers \(\displaystyle{+\infty }\) quand \(\displaystyle{n}\) tend vers \(\displaystyle{+\infty }\) si et seulement si pour tout réel A (aussi grand que l'on veut), tous les termes \(\displaystyle{u_{n}}\) sont supérieurs à A à partir d'un certain rang. On note :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } u_n = +\infty }\)

Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :

\(\displaystyle{u_n=3n+4}\)

Soit A un réel quelconque fixé. Pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n\gt A\Leftrightarrow3n+4\gt A\Leftrightarrow n\gt \dfrac{A-4}{3}}\).

Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle \(\displaystyle{\left] A;+\infty \right[}\).

Donc :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty}\)

Suite divergente vers \(\displaystyle{-\infty}\)

\(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) tend vers \(\displaystyle{-\infty }\) quand \(\displaystyle{n}\) tend vers \(\displaystyle{+\infty }\) si et seulement si pour tout réel A (aussi petit que l'on veut), tous les termes \(\displaystyle{u_{n}}\) sont inférieurs à A à partir d'un certain rang. On note :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } u_n = -\infty }\)

Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :

\(\displaystyle{u_n=-2n+5}\)

Soit A un réel quelconque fixé. On a, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n\lt A\Leftrightarrow-2n+5\lt A\Leftrightarrow n\gt \dfrac{5-A}{2}}\)

Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle \(\displaystyle{\left] -\infty;A\right[}\).

Donc :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty}\)

B

Les suites convergentes

Suite convergente

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est convergente si et seulement si elle admet une limite finie.

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par :

\(\displaystyle{u_{n} =\dfrac{1}{n}}\)

On a :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty }\dfrac{1}{n}=0}\)

Donc \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est convergente.

Suite convergente bornée

Toute suite convergente est bornée.

Suite divergente

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est divergente si et seulement si elle n'est pas convergente, c'est-à-dire si sa limite est \(\displaystyle{+ \infty }\) ou \(\displaystyle{- \infty }\) ou si elle n'admet pas de limite.

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) la suite définie pour tout entier naturel n par :

\(\displaystyle{u_{n} = \left(- 1\right)^{n}}\)

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) étant alternée (elle prend successivement les valeurs 1, −1, 1, −1, etc.), elle n'admet pas de limite. Elle est divergente.

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q :

  • Si \(\displaystyle{-1 \lt q \lt 1}\), alors la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) a pour limite 0.
  • Si \(\displaystyle{1 \lt q}\), alors la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{+\infty }\).
  • Si \(\displaystyle{q \leq -1}\), alors la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) n'admet pas de limite.
  • Si \(\displaystyle{q=1}\), alors la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) a pour limite 1.

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } \left( \dfrac14 \right)^n = 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } 5^n = +\infty }\)

C

Opérations sur les limites

Dans cette sous-partie, L et L' désignent des réels.

Limite d'une somme

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{L}\) \(\displaystyle{L}\) \(\displaystyle{L}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\)
et si \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{L'}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\)
alors \(\displaystyle{\left(u_n+v_n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{L+L'}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) ?

Limite d'un produit

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{L}\) \(\displaystyle{L\gt 0}\) \(\displaystyle{L\gt 0}\) \(\displaystyle{L\lt 0}\) \(\displaystyle{L\lt0}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) 0
et si \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{L'}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) ou \(\displaystyle{-\infty}\)
alors \(\displaystyle{\left(u_n\times v_n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{L\times L'}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) ?

Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

Limite d'un quotient

Cas 1

Si la limite de \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) n'est pas nulle

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{L}\) \(\displaystyle{L}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\)

\(\displaystyle{+\infty}\) ou \(\displaystyle{-\infty}\)

et si \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{L'\neq0}\) \(\displaystyle{+\infty}\) ou \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{L'\gt 0}\) \(\displaystyle{L'\lt 0}\) \(\displaystyle{L'\gt 0}\) \(\displaystyle{L'\lt 0}\) \(\displaystyle{+\infty}\) ou \(\displaystyle{-\infty}\)
alors \(\displaystyle{\left( \dfrac{u_n}{v_n} \right)}\) a pour limite \(\displaystyle{\dfrac{L}{L'}}\) 0 \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) ?
Cas 2

Si la limite de \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est nulle

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) a pour limite \(\displaystyle{L\gt0}\) ou \(\displaystyle{+\infty}\)

\(\displaystyle{L\gt0}\) ou \(\displaystyle{+\infty}\)

\(\displaystyle{L\lt0}\) ou \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{L\lt0}\) ou \(\displaystyle{-\infty}\) 0
et si \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) a pour limite 0 par valeurs positives 0 par valeurs négatives 0 par valeurs positives 0 par valeurs négatives 0
alors \(\displaystyle{\left( \dfrac{u_n}{v_n} \right)}\) a pour limite \(\displaystyle{+\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{-\infty}\) \(\displaystyle{+\infty}\) ?

Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

Il existe 4 formes indéterminées :

" \(\displaystyle{+\infty-\infty}\) " ; " \(\displaystyle{0\times \infty}\) " ; " \(\displaystyle{\dfrac{\infty}{\infty}}\) " ; " \(\displaystyle{\dfrac00}\) "

D

Comparaison et encadrement

Suite convergente et minorée

Soit une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) convergente vers L et un réel m tels qu'à partir d'un certain rang \(\displaystyle{m \leq u_{n}}\), alors :

\(\displaystyle{m \leq L}\)

Suite convergente et majorée

Soit une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) convergente vers L et un réel M tels qu'à partir d'un certain rang \(\displaystyle{u_{n} \leq M}\), alors :

\(\displaystyle{L \leq M}\)

Convergence et comparaison

Soient \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) et \(\displaystyle{\left(v_{n}\right)}\) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, \(\displaystyle{u_{n} \leq v_{n}}\). Si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) converge vers le réel \(\displaystyle{L}\) et \(\displaystyle{\left(v_{n}\right)}\) converge vers le réel \(\displaystyle{L'}\), alors :

\(\displaystyle{L \leq L'}\)

Théorème de comparaison

Soient \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) et \(\displaystyle{\left(v_{n}\right)}\) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, \(\displaystyle{u_{n} \leq v_{n}}\) :

  • Si \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } u_{n} = + \infty }\), alors \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } v_{n} = + \infty }\)
  • Si \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } v_{n} = - \infty }\), alors \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } u_{n} = - \infty }\)

Considérons une suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) telle que pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n\geq 3n^2+6}\)

On a :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}\left(3n^2+6\right)=+\infty}\)

Donc par comparaison :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty}\)

Théorème des gendarmes ou d'encadrement

Soient \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\), \(\displaystyle{\left(v_{n}\right)}\) et \(\displaystyle{\left(w_{n}\right)}\) trois suites et soit un entier naturel p.

Si :

  • \(\displaystyle{u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}}\) pour tout entier n plus grand que p
  • \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) et \(\displaystyle{\left(w_{n}\right)}\) convergent vers le même réel L

Alors \(\displaystyle{\left(v_{n}\right)}\) converge également vers L.

Considérons une suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) telle que pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{-\dfrac1n \leq u_n\leq \dfrac1n}\)

On a ;

  • \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}\left(\dfrac1n\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\left(-\dfrac1n\right)=0}\)

Donc, d'après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}u_n=0}\).

E

Limite monotone

Convergence (ou limite) monotone

  • Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
  • Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Considérons une suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) telle que pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{3\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4}\)

Cette suite est croissante et majorée par 4, donc elle converge vers un réel \(\displaystyle{L\leq 4}\).

Suites divergentes

  • Toute suite croissante et non majorée diverge vers \(\displaystyle{+\infty }\).
  • Toute suite décroissante et non minorée diverge vers \(\displaystyle{-\infty }\).
III

Le raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence

Pour démontrer par récurrence qu'une propriété est vraie, pour tout entier naturel n à partir du rang k, on procède en trois étapes.

Etape 1

Initialisation

On vérifie que la propriété est vérifiée au premier rang k.

Etape 2

Hérédité

On montre que si la propriété est vérifiée à un certain rang p (\(\displaystyle{p\geq k}\)), elle est alors vérifiée au rang suivant \(\displaystyle{p + 1}\).

Etape 3

Conclusion

La propriété étant initialisée et héréditaire, est alors vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal à k.

Considérons la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}=5u_n-8}\)

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_n\geq3}\).

Etape 1

Initialisation

On a \(\displaystyle{u_0=3}\)

Ainsi, \(\displaystyle{u_0\geq 3}\), donc la propriété est vraie au rang 0.

Etape 2

Hérédité

Soit un entier naturel p. On suppose que la propriété est vraie au rang p (c'est-à-dire que \(\displaystyle{u_p\geqslant 3}\) ). Montrons qu'alors elle est également vraie au rang \(\displaystyle{p+1}\) (c'est-à-dire que \(\displaystyle{u_{p+1}\geqslant 3}\) )

On a :

\(\displaystyle{u_p\geq3}\)

Soit :

\(\displaystyle{5u_p\geq15}\)

\(\displaystyle{5u_p-8\geq 7}\)

Ou encore :

\(\displaystyle{u_{p+1}\geq7}\)

On a donc bien :

\(\displaystyle{u_{p+1}\geq3}\)

La proposition est donc héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel. Ainsi, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n\geq3}\)

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