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Applications des lois de Newton

Les lois de la dynamique de Newton ont un très vaste champ d'application car elles sont vérifiées pour énormément de cas concrets à la surface de la Terre. La première de ces applications concerne bien évidemment le mouvement des corps à la surface de la Terre. Les objets proches de la surface terrestre sont soumis à la pesanteur terrestre. Une façon de modéliser ce phénomène est le champ uniforme. L'étude des mouvements dans ce type de champ est fondamentale car ils sont similaires quel que soit le champ considéré.

L'application des lois de Newton dépasse cependant l'étude des mouvements à la surface terrestre et elles permettent de calculer les mouvements des planètes et ainsi de prévoir leurs trajectoires.

I

Le mouvement d'un système dans un champ uniforme

Champ uniforme

Un champ uniforme est un champ de vecteurs identiques en tout point de l'espace, dans une zone donnée.

A

Le champ de pesanteur terrestre

Champ de pesanteur terrestre

Le champ de pesanteur terrestre est un champ vectoriel uniforme au voisinage de la Terre défini par le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{g}}\), appelé champ de pesanteur ou accélération de la pesanteur.

-

Les caractéristiques du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{g}}\) sont les suivantes :

  • Sa norme g vaut 9,8 N.kg−1.
  • Sa direction est toujours la verticale du lieu considéré.
  • Son sens va toujours vers la surface de la Terre.
B

Les équations horaires du mouvement

On considère un système de masse m en mouvement dans le champ de pesanteur terrestre tel que, à l'instant \(\displaystyle{t=t_0=0}\) seconde :

  • Le centre de gravité G est au centre d'un repère orthonormé (\(\displaystyle{O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}}\))
  • Le système est animé d'une vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_0}}\) contenu dans le plan (\(\displaystyle{yOz}\)) faisant un angle \(\displaystyle{\alpha}\) avec l'axe y.
  • Le système n'est soumis qu'à l'action de son poids \(\displaystyle{\overrightarrow{P}=m\cdot\overrightarrow{g}}\)
-

En supposant que le référentiel d'étude est galiléen, l'application de la deuxième loi de Newton permet d'obtenir l'équation du mouvement :

Équation du mouvement d'un système dans un champ de pesanteur uniforme

\(\displaystyle{\dfrac{d\overrightarrow{v_G}\left(t\right)}{dt}=\overrightarrow{a_G}\left(t\right)=\overrightarrow{g}\Leftrightarrow\overrightarrow{a_G}\left(t\right)\begin{cases} 0 \cr \cr 0 \cr \cr -g \end{cases}}\)

En intégrant deux fois et en utilisant les conditions initiales (\(\displaystyle{\overrightarrow{OG}\left(t=0\right)=\overrightarrow{0}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v_G}\left(t=0\right)=\overrightarrow{v_0}}\) ), on obtient les équations horaires du mouvement.

Équations horaires du mouvement

Les équations horaires du mouvement du centre d'inertie d'un système sont les équations donnant l'évolution de sa position au cours du temps.

Équations horaires d'un système dans un champ de pesanteur uniforme

\(\displaystyle{\overrightarrow{OG}\begin{cases} x\left(t\right)=0\cr \cr y\left(t\right)=v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cdot t \cr \cr z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\cdot t \end{cases}}\)

C

L'équation de la trajectoire

Équation de la trajectoire

L'équation de la trajectoire est l'équation obtenue en éliminant le temps des équations horaires du mouvement.

En reportant dans l'équation \(\displaystyle{z\left(t\right)}\) le temps exprimé en fonction de y grâce à l'équation \(\displaystyle{y\left(t\right)}\), on obtient l'équation de la trajectoire \(\displaystyle{z\left(y\right)}\).

Équation de la trajectoire d'un système dans un champ de pesanteur uniforme

L'équation de la trajectoire définit une parabole d'équation :

\(\displaystyle{z\left(y\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot \left( \dfrac{y}{v_0\cdot \cos\left(\alpha\right)} \right)^2+y\cdot \tan\left(\alpha\right)}\)

-
D

Le mouvement d'une charge dans un champ électrostatique uniforme

Champ électrostatique uniforme

Un champ électrostatique uniforme est une zone de l'espace pour laquelle le champ électrique \(\displaystyle{\overrightarrow{E}}\), dû à une différence de potentiel, est identique en tout point de cet espace.

Le champ électrique entre deux armatures d'un condensateur est un champ électrostatique uniforme.

On considère une charge électrique ponctuelle Q, de charge q et de masse m, placée entre les armatures d'un condensateur tel que, à l'instant \(\displaystyle{t=t_0=0}\) seconde :

  • La charge se trouve à l'origine d'un repère (\(\displaystyle{0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}}\)).
  • La charge est animée d'une vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_0}}\) contenue dans le plan (\(\displaystyle{yOz}\)) faisant un angle \(\displaystyle{\alpha}\) avec l'axe y.
  • La charge n'est soumise qu'à l'action du champ électrique qui se traduit par la force \(\displaystyle{\overrightarrow{F_e}=q\cdot \overrightarrow{E}}\).
-

En supposant que le référentiel d'étude est galiléen, l'application de la deuxième loi de Newton permet d'obtenir l'équation du mouvement :

Équation du mouvement d'une charge dans un champ électrostatique uniforme

\(\displaystyle{\dfrac{d\overrightarrow{v_Q}\left(t\right)}{dt}=\overrightarrow{a_Q}\left(t\right)=\dfrac{q}{m}\cdot \overrightarrow{E}\Leftrightarrow\overrightarrow{a_Q}\left(t\right)\begin{cases} 0 \cr \cr 0 \cr \cr -\dfrac{q}{m}\cdot E \end{cases}}\)

Cette équation est analogue à l'équation du mouvement dans un champ de pesanteur uniforme où :

  • Le vecteur champ électrique \(\displaystyle{\overrightarrow{E}}\) est l'équivalent du vecteur champ de pesanteur \(\displaystyle{\overrightarrow{g}}\).
  • Le coefficient entre le vecteur accélération et le vecteur champ ne vaut pas 1 mais \(\displaystyle{\left( -\dfrac{q}{m} \right)}\).

Par conséquent, les équations horaires sont similaires :

Équations horaires d'une charge dans un champ électrostatique uniforme

\(\displaystyle{\overrightarrow{OQ}\begin{cases} x\left(t\right)=0 \cr \cr y\left(t\right)=v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cdot t \cr \cr z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{q\cdot E}{m}\cdot t^2+v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\cdot t \end{cases}}\)

L'équation de la trajectoire est donc elle aussi similaire à celle du champ de pesanteur uniforme :

Équation de la trajectoire d'une charge dans un champ électrostatique uniforme

L'équation de la trajectoire définit une parabole d'équation :

\(\displaystyle{z\left(y\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{q\cdot E}{m} \right) \cdot \left( \dfrac{y}{v_0\cdot \cos\left(\alpha\right)} \right)^2+y\cdot \tan\left(\alpha\right)}\)

-
E

Les caractéristiques d'un mouvement dans un champ uniforme quelconque

Le mouvement d'un système quelconque soumis à l'action d'un champ uniforme quelconque et animé d'une vitesse initiale \(\displaystyle{\overrightarrow{v_0}}\) non nulle possède les caractéristiques suivantes :

  • Le vecteur accélération est colinéaire avec le vecteur du champ considéré.
  • Le mouvement du centre d'inertie est contenu dans un même plan.
  • La trajectoire est une parabole.
II

Le mouvement des planètes et des satellites

A

La loi universelle de la gravitation

Loi universelle de la gravitation

La loi universelle de la gravitation énonce que :

"Deux corps A et B, de masses respectives \(\displaystyle{m_A}\) et \(\displaystyle{m_B}\), dont les centres d'inertie respectifs \(\displaystyle{G_A}\) et \(\displaystyle{G_B}\) sont séparés d'une distance r, exercent l'un sur l'autre une action mécanique attractive modélisée par une force appelée force d'attraction gravitationnelle proportionnelle aux masses \(\displaystyle{m_A}\) et \(\displaystyle{m_B}\) et inversement proportionnelle au carré de la distance r les séparant."

-

Force gravitationnelle

L'expression vectorielle de la loi universelle de la gravitation est donnée par la relation suivante :

\(\displaystyle{\overrightarrow{F_{A/B}}=-\overrightarrow{F_{B/A}}=-G\cdot \dfrac{m_A\cdot m_B}{r^2}\cdot \overrightarrow{e_{AB}}\\}\)

Avec :

  • G la constante universelle de gravitation ; \(\displaystyle{G=6,67.10^{-11}}\) m3.kg−1.s−2
  • \(\displaystyle{m_A}\) la masse du corps A (en kg)
  • \(\displaystyle{m_B}\) la masse du corps B (en kg)
  • r la distance entre les deux corps (en m)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{e_{AB}}}\) le vecteur unitaire orienté de A vers B

La Terre exerce une force d'attraction sur la Lune identique mais de sens opposé à celle qu'exerce la Lune sur la Terre. Pour la calculer, il faut connaître :

  • La masse de la Terre : \(\displaystyle{M_T=5,97.10^{24}}\) kg
  • La masse de la Lune : \(\displaystyle{M_L=7,33.10^{22}}\) kg
  • La distance Terre − Lune : \(\displaystyle{R_{TL}=3,84.10^{8}}\) m

La force d'attraction entre la Terre et la Lune vaut donc :

\(\displaystyle{F_{A/B}=G\cdot\dfrac{M\cdot m}{r^2}}\)

\(\displaystyle{F_{Terre/Lune}=G\cdot\dfrac{M_T\cdot M_L}{R_{TL}^2}}\)

\(\displaystyle{F_{Terre/Lune}=6,67.10^{-11}\times\dfrac{5,97.10^{24}\times 7,33.10^{22}}{\left( 3,84.10^8 \right)^2}}\)

\(\displaystyle{F_{Terre/Lune}=1,98.10^{20}}\) N

B

L'application de la deuxième loi de Newton

La loi universelle de la gravitation permet de déterminer les trajectoires des satellites et des planètes en utilisant la deuxième loi de Newton. Il faut pour cela faire l'approximation des orbites circulaires.

1

L'approximation des orbites circulaires

On considère un objet (planète ou satellite) P de masse m, en mouvement circulaire uniforme sur une orbite de rayon r, autour d'un astre attracteur A de masse M. La seule force prise en considération est la force d'attraction gravitationnelle entre l'astre attracteur et l'objet.

-

Pour un objet en mouvement circulaire uniforme, la vitesse et l'accélération sont liées par la relation suivante :

\(\displaystyle{a=\dfrac{v^2}{r}}\)

Avec :

  • a l'accélération de l'objet (en m.s−2)
  • v la vitesse de l'objet (en m.s−1)
  • r le rayon de l'orbite circulaire (en m)
2

La vitesse d'un objet en orbite circulaire

En appliquant la deuxième loi de Newton dans le référentiel, supposé galiléen, lié à l'astre attracteur, on obtient l'équation du mouvement :

\(\displaystyle{\dfrac{d\overrightarrow{v_p}\left(t\right)}{dt}=\overrightarrow{a_p}\left(t\right)=\dfrac{G\cdot M}{r^2}\cdot \overrightarrow{e_{PA}}}\)

En utilisant la relation liant la vitesse et l'accélération pour un mouvement circulaire uniforme, on obtient l'expression de la vitesse de l'objet.

Vitesse d'un objet lors d'un mouvement circulaire uniforme

La vitesse d'une planète ou d'un satellite en mouvement circulaire uniforme e est donnée par la relation suivante :

\(\displaystyle{v=\sqrt{\dfrac{G\cdot M}{r}}}\)

Avec :

  • G la constante universelle de gravitation (en m3.kg−1.s−2)
  • M la masse de l'astre attracteur (en kg)
  • r le rayon de l'orbite circulaire (en m)

On considère un satellite géostationnaire placé sur une orbite circulaire à une altitude h de 35 786 km de façon à rester toujours à la verticale d'un même lieu à la surface de la Terre. Si on note \(\displaystyle{R_T}\) le rayon de la Terre valant 6,37.106 mètres et \(\displaystyle{M_T}\) sa masse valant 5,98.1024 kilogrammes, la vitesse d'un tel satellite vaudra :

\(\displaystyle{v=\sqrt{\dfrac{G\cdot M}{r}}}\)

\(\displaystyle{v_{satellite}=\sqrt{\dfrac{G\cdot M_T}{\left( R_T+h \right)}}}\)

\(\displaystyle{v_{satellite}=\sqrt{\dfrac{6,67.10^{-11}\times 5,98.10^{24}}{\left( 6,37.10^6+3,58.10^7 \right)}}}\)

\(\displaystyle{v_{satellite}=3,08.10^3}\) m.s−1

L'équation du mouvement montre que le vecteur accélération est dirigé vers le centre de la trajectoire circulaire. De plus, le vecteur vitesse étant toujours tangent à la trajectoire, le vecteur accélération et le vecteur vitesse sont perpendiculaires à chaque instant. Ceci traduit le fait que le mouvement est circulaire et uniforme.

3

La période de révolution

Période de révolution

La période de révolution, souvent notée T, est le temps nécessaire pour qu'une planète ou satellite fasse le tour complet de son orbite.

La période de révolution de la Terre autour du Soleil est de 365,25 jours.

Période de révolution

La période de révolution est donnée par l'expression suivante :

\(\displaystyle{T=\dfrac{2\Pi r}{v}=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{r^3}{G\cdot M}}}\)

Avec :

  • T la période de révolution de l'objet (en s)
  • G la constante universelle de gravitation (en m3.kg−1.s−2)
  • M la masse de l'astre attracteur (en kg)
  • r le rayon de l'orbite circulaire (en m)

On veut calculer la période de révolution \(\displaystyle{T_T}\) de la Terre autour du Soleil sachant que la distance Terre-Soleil \(\displaystyle{R_{TS}}\) vaut 1,50.1011 mètres et que la masse du Soleil \(\displaystyle{M_S}\) vaut 2,00.1030 kilogrammes. En appliquant la formule, on trouve :

\(\displaystyle{T=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{r^3}{G\cdot M}}}\)

\(\displaystyle{T_{T}=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{R_{ST}^3}{G\cdot M_S}}}\)

\(\displaystyle{T_T=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{\left( 1,50.10^{11} \right)^3}{6,67.10^{-11}\times2,00.10^{30}}}}\)

\(\displaystyle{T_T=3,16.10^7}\) s \(\displaystyle{=366}\) jours

C

Les trajectoires réelles des planètes et les lois de Kepler

En réalité, l'orbite des planètes n'est pas circulaire. Johannes Kepler a décrit les trajectoires réelles des planètes et des astres grâce à trois lois.

1

La première loi de Kepler

Première loi de Kepler

La première loi de Kepler énonce que :

"Dans le référentiel héliocentrique, les planètes suivent des trajectoires en forme d'ellipse dont le Soleil est l'un des foyers."

-
2

La deuxième loi de Kepler

Deuxième loi de Kepler

La deuxième loi de Kepler énonce que :

"Pour une durée donnée, le segment reliant la planète au Soleil balaye toujours la même surface."

-
3

La troisième loi de Kepler

Troisième loi de Kepler

La troisième loi de Kepler donne une relation entre la période de révolution et le demi-grand axe de l'ellipse :

\(\displaystyle{\dfrac{T^2}{a^3}=constante}\)

Avec :

  • T la période de révolution (en s)
  • a le demi-grand axe de l'ellipse (en m)

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