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Appliquer le principe de la conservation de la quantité de mouvement.

Le principe de conservation de la quantité de mouvement s'applique si un système est isolé (ou pseudo-isolé). Dans le cas où un ensemble de deux sous-systèmes forment un système isolé, il est possible d'appliquer ce principe.

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On distingue deux cas spécifiques :

  • Le cas d'un choc entre un premier solide (solide 1) et un second (solide 2). Chaque solide est un sous-système.
  • Le cas de la propulsion d'une fusée. La fusée est le premier sous-système et les gaz d'échappement sont le deuxième.

Le principe de conservation de la quantité de mouvement permet de déterminer un paramètre inconnu (souvent la vitesse) à propos d'un des sous-systèmes.

On tire horizontalement une balle de fusil de masse 2 g sur une pièce de bois de 2 kg suspendue à un fil et immobile. La balle s'y arrête. Après le choc, le bois a une vitesse de 0,5 m.s−1. Déterminer la vitesse initiale de la balle.

Etape 1

Rappeler le référentiel d'étude, supposé galiléen, dans lequel on se place

On rappelle le référentiel d'étude choisi pour étudier le mouvement du système (référentiel attaché au laboratoire, référentiel terrestre, référentiel géocentrique). On précise que le référentiel est supposé galiléen.

Le référentiel d'étude est le référentiel de l'expérience dit référentiel du laboratoire. Il est supposé galiléen.

Etape 2

Définir les deux sous-systèmes formant le système complet

On définit les deux sous-systèmes formant le système complet considéré. Il s'agit :

  • Du solide 1 et du solide 2 dans le cas d'un choc
  • De la fusée et des gaz d'échappement dans le cas de la propulsion de la fusée

Le premier sous-système possède une quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p_1}}\) et une masse \(\displaystyle{m_1}\) tandis que le second sous-système possède une quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p_2}}\) et une masse \(\displaystyle{m_2}\).

Les deux sous-systèmes formant le système complet sont :

  • Le solide 1 : la balle du fusil, de masse \(\displaystyle{m_1=2}\) g
  • Le solide 2 : la pièce de bois, de masse \(\displaystyle{m_2=2}\) kg
Etape 3

Définir le système isolé considéré

On définit l'ensemble du système qui est isolé. Il s'agit :

  • De l'ensemble {solide 1 + solide 2} dans le cas du choc
  • De l'ensemble {fusée + gaz} dans le cas de la propulsion de la fusée

Le système isolé considéré est constitué de l'ensemble balle + pièce de bois.

Etape 4

Repérer l'événement conduisant à un changement de quantité de mouvement

On repère l'événement traduisant un changement de quantité de mouvement entre les deux sous-systèmes. Il s'agit :

  • De la collision entre les deux solides dans le cas du choc
  • De la mise à feu de la fusée dans le cas de la propulsion

La collision entre la balle et la pièce de bois traduit un changement de quantité de mouvement entre les deux sous-systèmes.

Etape 5

Exprimer la quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p^{av}}}\) du système complet avant le choc

On exprime la quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p^{av}}}\) du système complet avant l'événement. Il s'agit de la somme vectorielle des quantités de mouvement individuelles de chaque sous-système :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p^{av}} = m_{1}^{av} \times \overrightarrow{v_{1}^{av}} + m_{2}^{av} \times \overrightarrow{v_{2}^{av}}}\)

On exprime la quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p^{av}}}\) du système complet avant le choc :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p^{av}} = m_{1}^{av} \times \overrightarrow{v_{1}^{av}} + m_{2}^{av} \times \overrightarrow{v_{2}^{av}}}\)

Or la pièce en bois était immobile avant le choc ( \(\displaystyle{v^{av}_2=0}\) m.s−1), d'où :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p^{av}} = m_{1}^{av} \times \overrightarrow{v_{1}^{av}} }\)

Etape 6

Exprimer la quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p^{ap}}}\) du système complet après le choc

On exprime la quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p^{ap}}}\) du système complet après l'événement. Il s'agit de la somme vectorielle des quantités de mouvement individuelles de chaque sous-système :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p^{ap}} = m_{1}^{ap} \times \overrightarrow{v_{1}^{ap}} + m_{2}^{ap} \times \overrightarrow{v_{2}^{ap}}}\)

On exprime la quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p^{ap}}}\) du système complet après le choc :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p^{ap}} = m_{1}^{ap} \times \overrightarrow{v_{1}^{ap}} + m_{2}^{ap} \times \overrightarrow{v_{2}^{ap}}}\)

La balle est figée dans le bois. Ces deux solides sont animés de la même vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_2^{ap}}}\), et donc :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p^{ap}} = \left(m_{1}^{ap}+m_{2}^{ap}\right) \times \overrightarrow{v_{2}^{ap}} }\)

Etape 7

Rappeler le principe de la conservation de la quantité de mouvement

On rappelle que, pour un système isolé, la quantité de mouvement se conserve.

D'après le principe de conservation, la quantité de mouvement d'un système isolé se conserve.

Etape 8

Déduire l'équation liant les paramètres avant et après l'événement

On déduit du principe de conservation de la quantité de mouvement que la quantité de mouvement avant l'événement est égale à la quantité de mouvement après l'événement :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p^{av}} = \overrightarrow{p^{ap}}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow m_{1}^{av} \times \overrightarrow{v_{1}^{av}} + m_{2}^{av} \times \overrightarrow{v_{2}^{av}} = m_{1}^{ap} \times \overrightarrow{v_{1}^{ap}} + m_{2}^{ap} \times \overrightarrow{v_{2}^{ap}}}\)

On déduit du principe de conservation l'égalité des quantités de mouvement avant et après la collision :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p^{av}} = \overrightarrow{p^{ap}}}\)

Soit :

\(\displaystyle{m_{1}^{av} \times \overrightarrow{v_{1}^{av}} = \left(m_{1}^{ap}+m_{2}^{ap}\right) \times \overrightarrow{v_{2}^{ap}}}\)

Etape 9

Conclure en exprimant le paramètre recherché

On conclut en exprimant le paramètre recherché (il s'agit souvent de la vitesse d'un des deux sous-systèmes après l'événement).

La vitesse de la balle avant la collision peut être déterminée :

\(\displaystyle{ v_{1}^{av} = \dfrac{\left(m_{1}^{ap}+m_{2}^{ap}\right) \times {v_{2}^{ap}}}{m_{1}^{av}}}\)

\(\displaystyle{ v_{1}^{av} = \dfrac{{\left(2+2\times 10^{-3}\right) \times 0,5}}{2\times10^{-3}}}\)

\(\displaystyle{ v_{1}^{av} = 5\times10^2}\) m.s−1

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