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Déterminer l'équation de la trajectoire d'un système

L'équation de la trajectoire est l'équation qui permet de définir la trajectoire du système en exprimant une coordonnée en fonction des autres. Elle se détermine à partir des composantes du vecteur position.

Le lancer d'une balle est prévisible par l'équation de la position de son centre d'inertie respectant cette équation :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}=\left(v_0\cos\left(\alpha\right)\times t\right)\overrightarrow{i}+\left(-\dfrac{1}{2}g\times t^2+v_0\sin\left(\alpha \right) \times t\right) \overrightarrow{j}}\).

Déterminer l'équation de la trajectoire à partir de l'équation horaire du mouvement.

Etape 1

Relever les composantes du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\)

On relève les composantes \(\displaystyle{\left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right)}\) du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\).

Les composantes \(\displaystyle{\left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right)}\) du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\) donné dans l'énoncé s'écrivent :

  • \(\displaystyle{ x\left(t\right)=v_0\cos\left( \alpha\right)\times t }\)
  • \(\displaystyle{y\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}g\times t^2+v_0 \sin\left(\alpha\right)\times t }\)
  • \(\displaystyle{z\left(t\right)=0}\)
Etape 2

Exprimer la variable de temps en fonction d'une variable d'espace dans l'une des composantes

On exprime le temps t en fonction d'une des variables d'espace pour une des composantes :

  • Si l'on choisit la composante \(\displaystyle{x\left(t\right)}\), on exprime le temps t en fonction de la position x.
  • Si l'on choisit la composante \(\displaystyle{y\left(t\right)}\), on exprime le temps t en fonction de la position y.
  • Si l'on choisit la composante \(\displaystyle{z\left(t\right)}\), on exprime le temps t en fonction de la position z.

On choisit \(\displaystyle{x\left(t\right)}\), l'expression la plus simple, pour exprimer le temps t :

\(\displaystyle{t=\dfrac{x}{v_0\cos\left( \alpha\right)}}\)

Etape 3

Remplacer la variable de temps dans les autres composantes par son expression

On remplace le temps t par son expression en fonction d'une variable d'espace dans l'expression des deux autres composantes.

On remplace le temps t par son expression dans la composante \(\displaystyle{y\left(t\right)}\) :

\(\displaystyle{y\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_0\cos\left(\alpha \right)}\right)^2+v_0\sin\left(\alpha \right)\times\left(\dfrac{x}{v_0\cos\left(\alpha \right)}\right)}\)

\(\displaystyle{y\left(x\right)=-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\left(\alpha \right)}x^2+\tan\left(\alpha \right)x}\)

Par ailleurs, ici, on a :

\(\displaystyle{z\left(x\right)=0}\)

Etape 4

Conclure en exprimant l'équation de la trajectoire

On conclut en donnant l'équation de la trajectoire. Il peut s'agir de l'équation :

  • \(\displaystyle{y\left(x\right)}\) ou \(\displaystyle{z\left(x\right)}\) si on exprime le temps en fonction de la variable x.
  • \(\displaystyle{x\left(y\right)}\) ou \(\displaystyle{z\left(y\right)}\) si on exprime le temps en fonction de la variable y.
  • \(\displaystyle{x\left(z\right)}\) ou \(\displaystyle{y\left(z\right)}\) si on exprime le temps en fonction de la variable z.

L'équation de la trajectoire est une fonction polynôme de degré 2 de type \(\displaystyle{y\left(t\right)=ax^2+bx+c}\). La trajectoire de la balle est une portion de parabole.

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