Terminale S 2016-2017

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Exprimer un résultat de mesure avec un encadrement en fonction d'un niveau de confiance

Lorsque l'on effectue une mesure afin de déterminer la valeur vraie d'une grandeur physique X quelconque, la valeur mesurée x est entachée d'une erreur. Cette erreur peut être estimée en évaluant l'incertitude \(\displaystyle{U\left(x\right)}\) liée à la mesure. L'incertitude est donnée à un certain niveau de confiance qui est de 95% dans le cadre du cours.

Pour écrire le résultat de cette mesure, il faut écrire un encadrement de la valeur vraie avec un niveau de confiance de 95%.

Lors de l'analyse d'un signal périodique, on mesure une valeur de 120,6 Hz pour la fréquence \(\displaystyle{f_0}\) de ce signal. L'incertitude associée à cette valeur est de 50 mHz avec un niveau de confiance de 95%.

On souhaite écrire le résultat sous la forme d'un encadrement de la valeur vraie \(\displaystyle{F_0}\) de \(\displaystyle{f_0}\).

Etape 1

Déterminer l'incertitude \(\displaystyle{U\left(x\right)}\) sur la mesure

On donne la valeur de l'incertitude \(\displaystyle{U\left(x\right)}\) sur la mesure. Certaines incertitudes seront directement fournies (précision des appareils, influence des paramètres extérieurs, etc.) et d'autres devront être déterminées par l'expérimentateur.

Il peut s'agir :

  • D'une incertitude due à la précision des appareils de mesure
  • D'une incertitude liée à la méthode utilisée pour effectuer la mesure
  • D'une incertitude liée à l'expérimentateur
  • D'une incertitude due aux paramètres extérieurs (pression, température, etc)
  • D'une incertitude sur une série de mesure

L'incertitude \(\displaystyle{U\left(f_0\right)}\) associée à la mesure de la fréquence \(\displaystyle{f_0}\) a pour valeur 0,05 Hz.

Etape 2

Exprimer la valeur mesurée et l'incertitude attachée à cette mesure dans la même unité

Le résultat de la mesure x (la valeur mesurée), et l'incertitude \(\displaystyle{U\left(x\right)}\) attachée à ce résultat doivent être exprimés dans la même unité. Si ce n'est pas déjà le cas, on effectue la conversion nécessaire.

L'incertitude \(\displaystyle{U\left(f_0\right)}\) vaut 50 mHz et la valeur mesurée vaut 120,6 Hz. Ces deux valeurs ne sont pas exprimées dans la même unité, on effectue donc une conversion :

\(\displaystyle{U\left(f_0\right)=0,05}\) Hz

Etape 3

Exprimer la valeur mesurée et l'incertitude avec le nombre de chiffres significatifs adéquats

La position du dernier chiffre significatif de la valeur mesurée x doit correspondre à la position du dernier chiffre significatif de l'incertitude \(\displaystyle{U\left(x\right)}\).

  • Le dernier chiffre significatif de la valeur mesurée (120,6 Hz) est le chiffre "6" qui correspond au chiffre des dixièmes.
  • Le dernier chiffre significatif de l'incertitude (0,05 Hz) est le chiffre "5" qui correspond au chiffre des centièmes.

Il faut donc exprimer la valeur mesurée avec un chiffre significatif supplémentaire pour correspondre au dernier chiffre significatif de l'incertitude. La valeur mesurée vaut donc \(\displaystyle{f_0=120,60}\) Hz.

Etape 4

Écrire le résultat de la mesure sous forme d'un encadrement

La valeur vraie de la grandeur physique X peut alors être écrite sous forme d'un encadrement à partir de la valeur mesurée x et de son incertitude \(\displaystyle{U\left(x\right)}\) en utilisant une des représentations suivantes :

  • \(\displaystyle{X = x \pm U\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{x-U\left(x\right) \lt X \lt x+U\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{X \in \left[x-U\left(x\right) ; x+U\left(x\right)\right]}\)

L'encadrement de la valeur vraie de la fréquence \(\displaystyle{f_0}\) avec un niveau de confiance de 95% s'écrit donc :

  • \(\displaystyle{F_0 = \left( 120,60 \pm 0,05 \right)}\) Hz
  • \(\displaystyle{120,55 \lt F_0 \lt 120,65}\) Hz
  • \(\displaystyle{F_0 \in \left[120,55 ; 120,65 \right]}\) Hz