Terminale S 2016-2017

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Déterminer une vitesse à partir de la conservation de l'énergie mécanique

On considère un système de masse m et de charge électrique q qui se déplace entre un point A et un point B. La vitesse \(\displaystyle{v_B}\) de ce système au point B se calcule à partir de la variation d'énergie potentielle totale et de la variation d'énergie cinétique entre les points A et B à condition que l'énergie mécanique se conserve.

Un électron de masse m pénètre dans un condensateur selon la figure ci-dessous. Il est animé d'une vitesse horizontale \(\displaystyle{v_A=5\times10^3}\) km.s−1.
Déterminer à l'aide de la conservation de l'énergie mécanique sa vitesse \(\displaystyle{v_B}\) en B.

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Données :

  • Masse de l'électron : \(\displaystyle{m=9,1\times10^{-31}}\) kg
  • Charge de l'électron : \(\displaystyle{q=-1,6\times10^{-19}}\) C
  • Tension entre A et B : \(\displaystyle{U_{AB}=100}\) V
  • On négligera le poids de l'électron.
Etape 1

Rappeler l'expression de la variation de l'énergie mécanique \(\displaystyle{\Delta_{AB} E_m}\)

On rappelle la variation de l'énergie mécanique \(\displaystyle{\Delta_{AB} E_m}\) entre deux points A et B :

\(\displaystyle{\Delta_{AB} E_m\left(t\right) = \Delta_{AB} E_c\left(t\right) + \Delta_{AB} E_p\left(t\right)}\)

La variation de l'énergie mécanique \(\displaystyle{\Delta_{AB} E_m}\) de l'électron entre les deux points A et B vaut :

\(\displaystyle{\Delta_{AB} E_m\left(t\right) = \Delta_{AB} E_c\left(t\right) + \Delta_{AB} E_p\left(t\right)}\)

Etape 2

Introduire le fait que l'énergie mécanique se conserve

On introduit le fait que l'énergie mécanique se conserve entre les points A et B.

L'électron n'est soumis qu'à des forces conservatrices (forces électrostatiques), son énergie mécanique se conserve entre les points A et B.

Etape 3

Déduire que la variation d'énergie mécanique est nulle

On en déduit que la variation d'énergie mécanique est nulle entre les points A et B. On écrit la relation ainsi obtenue :

\(\displaystyle{\Delta_{AB} E_m\left(t\right) = 0 = \Delta_{AB} E_c\left(t\right) + \Delta_{AB} E_p\left(t\right)}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \Delta_{AB} E_c\left(t\right) = -\Delta_{AB} E_p\left(t\right)}\)

La variation d'énergie mécanique de l'électron est donc nulle entre les points A et B ainsi :

\(\displaystyle{\Delta_{AB} E_m\left(t\right) = 0 }\)

\(\displaystyle{\Delta_{AB} E_c\left(t\right) + \Delta_{AB} E_p\left(t\right)=0}\)

\(\displaystyle{\Delta_{AB} E_c\left(t\right) = -\Delta_{AB} E_p\left(t\right)}\)

Etape 4

Rappeler l'expression de la variation de l'énergie cinétique \(\displaystyle{\Delta_{AB} Ec\left(t\right)}\)

On rappelle que la variation de l'énergie cinétique \(\displaystyle{\Delta_{AB} Ec\left(t\right)}\) entre les points A et B s'exprime en fonction de la vitesse \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) et de la masse m du système de la façon suivante :

\(\displaystyle{\Delta_{AB} E_c\left(t\right) = \dfrac{1}{2} \times m \times \left( v_B^2\left(t\right) - v_A^2\left(t\right) \right)}\)

La variation de l'énergie cinétique \(\displaystyle{\Delta_{AB} Ec\left(t\right)}\) de l'électron entre les points A et B est :

\(\displaystyle{\Delta_{AB} E_c\left(t\right) = \dfrac{1}{2} \times m \times \left( v_B^2\left(t\right) - v_A^2\left(t\right) \right)}\)

Etape 5

Remplacer l'expression de la variation de l'énergie cinétique dans l'égalité résultante de la conservation de l'énergie mécanique

On remplace l'expression de la variation de l'énergie cinétique dans l'égalité déduite de la conservation de l'énergie mécanique :

\(\displaystyle{ \dfrac{1}{2} \times m \times \left( v_B^2\left(t\right) - v_A^2\left(t\right) \right) = -\Delta E_p\left(t\right)}\)

Ainsi, on obtient :

\(\displaystyle{ \dfrac{1}{2} \times m \times \left( v_B^2\left(t\right) - v_A^2\left(t\right) \right) = -\Delta E_p\left(t\right)}\)

Etape 6

Manipuler la formule pour exprimer la vitesse \(\displaystyle{v_B\left(t\right)}\) au point B

On manipule la formule pour exprimer la vitesse au point B en fonction des autres paramètres :

\(\displaystyle{ \dfrac{1}{2} \times m \times \left( v_B^2\left(t\right) - v_A^2\left(t\right) \right) = -\Delta E_p\left(t\right)}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow v_B^2\left(t\right) = v_A^2\left(t\right) + \dfrac{ -\Delta E_p\left(t\right)}{\dfrac{1}{2} \times m}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow v_B\left(t\right) = \sqrt{v_A^2\left(t\right) + \dfrac{ -\Delta E_p\left(t\right)}{\dfrac{1}{2} \times m}}}\)

On obtient alors la vitesse de l'électron au point B en fonction des autres paramètres :

\(\displaystyle{ \dfrac{1}{2} \times m \times \left( v_B^2\left(t\right) - v_A^2\left(t\right) \right) = -\Delta E_p\left(t\right)}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow v_B^2\left(t\right) = v_A^2\left(t\right) + \dfrac{ -\Delta E_p\left(t\right)}{\dfrac{1}{2} \times m}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow v_B\left(t\right) = \sqrt{v_A^2\left(t\right) + \dfrac{ -\Delta E_p\left(t\right)}{\dfrac{1}{2} \times m}}}\)

Etape 7

Déterminer la valeur de la variation de l'énergie potentielle totale \(\displaystyle{\Delta_{AB} E_p\left(t\right)}\)

On détermine la valeur de la variation de l'énergie potentielle totale \(\displaystyle{\Delta_{AB} E_p\left(t\right)}\). Deux possibilités se présentent :

  • Si la valeur de la variation de l'énergie potentielle totale \(\displaystyle{\Delta_{AB} E_p\left(t\right)}\) est donnée dans l'énoncé, on la relève.
  • Si la valeur de la variation de l'énergie potentielle totale \(\displaystyle{\Delta_{AB} E_p\left(t\right)}\) n'est pas donnée dans l'énoncé, il faut déterminer l'expression de l'énergie potentielle totale.

La valeur de la variation de l'énergie potentielle de l'électron soumis à une tension électrique entre A et B est :

\(\displaystyle{\Delta_{AB} E_p\left(t\right)=q\times U_{AB}}\)

Etape 8

Effectuer l'application numérique de \(\displaystyle{v_B}\)

On effectue l'application numérique afin de calculer la valeur \(\displaystyle{v_B}\).

On effectue l'application numérique :

\(\displaystyle{v_B\left(t\right) = \sqrt{\left({5\times10^6}\right)^2 + \dfrac{ 100\times1,6\times10^{-19}}{\dfrac{1}{2} \times 9,1\times10^{-31}}}}\)

\(\displaystyle{v_B\left(t\right) = 7\ 756\ 599}\) m.s−1

Etape 9

Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs

On écrit le résultat avec le même nombre de chiffres significatifs que le paramètre possédant le plus petit nombre de chiffres significatifs.

On écrit le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs, soit ici :

\(\displaystyle{v_B\left(t\right) = 8\times10^6}\) m.s−1