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Manipuler la relation de la quantité de mouvement

Méthode 1

Afin de calculer la norme du vecteur quantité de mouvement

La norme du vecteur quantité de mouvement \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) se calcule à partir de la masse m du système et de la norme de son vecteur vitesse \(\displaystyle{v\left(t\right)}\).

Un skieur de masse \(\displaystyle{m=80}\) kg effectue une descente à la vitesse \(\displaystyle{v=60}\) km.h−1. Déterminer sa quantité de mouvement.

Etape 1

Rappeler la définition du vecteur quantité de mouvement

On rappelle la définition du vecteur quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)}}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)} = m \times \overrightarrow{v\left(t\right)}}\)

La définition du vecteur quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)}}\) est :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)} = m \times \overrightarrow{v\left(t\right)}}\)

Etape 2

Exprimer la norme de la quantité de mouvement \(\displaystyle{p\left(t\right)}\)

On donne, à partir de la définition de la quantité de mouvement, la relation liant la norme de la quantité de mouvement \(\displaystyle{p\left(t\right)}\), la norme du vecteur vitesse \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) et la masse m du système :

\(\displaystyle{p\left(t\right) = m \times v\left(t\right)}\)

À l'aide de la relation précédente, la norme de la quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)}}\) est :

\(\displaystyle{p\left(t\right) = m \times v\left(t\right)}\)

Etape 3

Relever les valeurs de la masse et de la vitesse du système

On relève la valeur de la masse m du système et la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse qui sont déjà connues.

Les valeurs de la masse m et de la vitesse v sont données dans l'énoncé :

  • \(\displaystyle{m=80}\) kg
  • \(\displaystyle{v=60}\) km.h−1
Etape 4

Exprimer les paramètres dans les bonnes unités

Les paramètres sont la masse et la vitesse. On vérifie que :

  • La masse est exprimée en kilogrammes.
  • La vitesse est exprimée en mètres par seconde.

Si ce n'est pas le cas, on effectue les conversions nécessaires.

La masse est correctement exprimée en kilogrammes. La vitesse doit être convertie en m.s−1 :

\(\displaystyle{v=\dfrac{60}{3,6}}\)

\(\displaystyle{v=16,7}\) m.s−1

Etape 5

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique afin de déterminer la norme \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) du vecteur quantité de mouvement.

On obtient :

\(\displaystyle{p\left(t\right) = 80 \times 16,7}\)

\(\displaystyle{p\left(t\right) = 1\ 336}\) kg.m.s−1

Etape 6

Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs

On écrit le résultat avec le même nombre de chiffres significatifs que le paramètre possédant le plus petit nombre de chiffres significatifs.

Le résultat doit être écrit avec deux chiffres significatifs :

\(\displaystyle{p\left(t\right) = 1,3\times10^3}\) kg.m.s−1

Méthode 2

Afin de calculer la valeur de la masse du système

Si la masse m d'un système est inconnue, elle se calcule à partir de la relation définissant la quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p}}\), si la norme \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) du vecteur quantité de mouvement ainsi que la vitesse v du système sont connues.

Un boulet de canon se déplace à la vitesse \(\displaystyle{v=120}\) m.s−1 et possède une quantité de mouvement \(\displaystyle{p=180}\) kg.m.s−1. Déterminer sa masse.

Etape 1

Rappeler la définition du vecteur quantité de mouvement

On rappelle la définition du vecteur quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)}}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)} = m \times \overrightarrow{v\left(t\right)}}\)

La définition du vecteur quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)}}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)} = m \times \overrightarrow{v\left(t\right)}}\)

Etape 2

Exprimer la norme de la quantité de mouvement \(\displaystyle{p\left(t\right)}\)

On donne, à partir de la définition de la quantité de mouvement, la relation liant la norme \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) de la quantité de mouvement, la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse et la masse m du système :

\(\displaystyle{p\left(t\right) = m \times v\left(t\right)}\)

La relation liant la norme \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) de la quantité de mouvement, la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse et la masse m du système est :

\(\displaystyle{p\left(t\right) = m \times v\left(t\right)}\)

Etape 3

Manipuler la relation pour exprimer la masse m

On manipule la relation pour exprimer la masse m en fonction de la quantité de mouvement \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) et de la vitesse \(\displaystyle{v\left(t\right)}\).

On obtient :

\(\displaystyle{m= \dfrac{p\left(t\right)}{v\left(t\right)}}\)

Etape 4

Relever les valeurs de la quantité de mouvement et de la vitesse

On relève la norme \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) du vecteur quantité de mouvement et la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse qui sont déjà connues.

On relève dans l'énoncé les valeurs de \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) et de \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) :

  • \(\displaystyle{v\left(t\right)=120}\) m.s−1
  • \(\displaystyle{p\left(t\right)=180}\) kg.m.s−1
Etape 5

Exprimer les paramètres dans les bonnes unités

Les paramètres sont la quantité de mouvement et la vitesse. On vérifie que :

  • La quantité de mouvement est exprimée en kg.m.s−1.
  • La vitesse est exprimée en m.s−1.

Si ce n'est pas le cas, on effectue les conversions nécessaires.

Ici, les paramètres sont exprimés dans les bonnes unités.

Etape 6

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique afin de déterminer la masse m du sytème.

On obtient :

\(\displaystyle{m= \dfrac{180}{120}}\)

\(\displaystyle{m=1,5}\) kg

Etape 7

Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs

On écrit le résultat avec le même nombre de chiffres significatifs que le paramètre possédant le plus petit nombre de chiffres significatifs.

Le résultat doit être exprimé avec trois chiffres significatifs :

\(\displaystyle{m=1,50}\) kg

Méthode 3

Afin de calculer la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse

Si la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse est inconnue, elle se calcule à partir de la relation définissant la quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p}}\), si la norme \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) du vecteur quantité de mouvement ainsi que la masse m du système sont connues.

Un chariot de masse \(\displaystyle{m=15}\) kg se déplace avec une quantité de mouvement \(\displaystyle{p=335}\) kg.m.s−1. Calculer sa vitesse.

Etape 1

Rappeler la définition du vecteur quantité de mouvement

On rappelle la définition du vecteur quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)}}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)} = m \times \overrightarrow{v\left(t\right)}}\)

Le vecteur quantité de mouvement \(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)}}\) est défini par :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p\left(t\right)} = m \times \overrightarrow{v\left(t\right)}}\)

Etape 2

Exprimer la norme de la quantité de mouvement \(\displaystyle{p\left(t\right)}\)

On donne, à partir de la définition de la quantité de mouvement, la relation liant la norme \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) de la quantité de mouvement, la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse et la masse m du système :

\(\displaystyle{p\left(t\right) = m \times v\left(t\right)}\)

La relation liant la norme \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) de la quantité de mouvement, la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse et la masse m du système est :

\(\displaystyle{p\left(t\right) = m \times v\left(t\right)}\)

Etape 3

Manipuler la relation pour exprimer la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse

On manipule la relation pour exprimer la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse en fonction de la quantité de mouvement \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) et de la masse m :

\(\displaystyle{v\left(t\right)=\dfrac{p\left(t\right)}{m}}\)

On obtient :

\(\displaystyle{v\left(t\right)=\dfrac{p\left(t\right)}{m}}\)

Etape 4

Relever les valeurs de la masse m et de la quantité de mouvement \(\displaystyle{p\left(t\right)}\)

On relève la norme \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) du vecteur quantité de mouvement et la valeur de la masse m du système.

On relève les valeurs de m et de \(\displaystyle{p\left(t\right)}\) :

  • \(\displaystyle{m=15}\) kg
  • \(\displaystyle{p\left(t\right)=335}\) kg.m.s−1
Etape 5

Exprimer les paramètres dans les bonnes unités

Les paramètres sont la quantité de mouvement et la masse. On vérifie que :

  • La quantité de mouvement est exprimée en kg.m.s−1.
  • La masse est exprimée en kg.

Si ce n'est pas le cas, on effectue les conversions nécessaires.

Les paramètres sont bien exprimés dans les bonnes unités.

Etape 6

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique afin de déterminer la norme \(\displaystyle{v\left(t\right)}\) du vecteur vitesse.

On obtient :

\(\displaystyle{v\left(t\right)=\dfrac{335}{15}}\)

\(\displaystyle{v\left(t\right)=22,33}\) m.s−1

Etape 7

Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs

On écrit le résultat avec le même nombre de chiffres significatifs que le paramètre possédant le plus petit nombre de chiffres significatifs.

Le résultat doit être écrit avec deux chiffres significatifs :

\(\displaystyle{v\left(t\right)=22}\) m.s−1

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