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Calculer les fréquences dans la gamme tempérée

La gamme tempérée est le système de division de l'octave le plus communément utilisé au XXIe siècle dans la musique occidentale et les musiques qui en sont issues.

Le principe est de découper l'octave en douze intervalles chromatiques égaux sans se préoccuper de la consonance entre eux des sons ainsi déterminés.

Déterminer la gamme tempérée à partir du Do de fréquence \(\displaystyle{f=100}\) Hz.

Etape 1

Repérer la fréquence de base

On repère dans l'énoncé la fréquence de base. Elle s'exprime en Hertz (Hz).

La fréquence de base est :

\(\displaystyle{f_1=100}\) Hz

Etape 2

Déterminer la note suivante

On détermine la note suivante en multipliant la fréquence de base par \(\displaystyle{2^{\frac{1}{12}}}\) :

\(\displaystyle{f_2=f_1 \times2^{\frac{1}{12}}}\)

On détermine la note suivante :

\(\displaystyle{f_2=f_1 \times2^{\frac{1}{12}}}\)

\(\displaystyle{f_2=100 \times2^{\frac{1}{12}}}\)

\(\displaystyle{f_2=105,9}\) Hz

Etape 3

Déterminer les autres notes de la gamme tempérée

On détermine les autres notes de la gamme tempérée en reproduisant la même opération jusqu'à l'obtention de l'octave, soit le doublement de la fréquence de base :

\(\displaystyle{f_{n+1}=f_n \times2^{\frac{1}{12}}}\)

On détermine les autres notes de la gamme tempérée en reproduisant l'étape précédente :

  • \(\displaystyle{f_3=f_2 \times2^{\frac{1}{12}}= 105,9\times 2^{\frac{1}{12}}=112,3}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_4=f_3 \times2^{\frac{1}{12}}= 112,3\times 2^{\frac{1}{12}}=118,9}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_5=f_4 \times2^{\frac{1}{12}}= 118,9\times 2^{\frac{1}{12}}=126,0}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_6=f_5 \times2^{\frac{1}{12}}= 126,0\times 2^{\frac{1}{12}}=133,5}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_7=f_6 \times2^{\frac{1}{12}}= 133,5\times 2^{\frac{1}{12}}=141,4}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_8=f_7 \times2^{\frac{1}{12}}= 141,4\times 2^{\frac{1}{12}}=149,8}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_9=f_8 \times2^{\frac{1}{12}}= 149,8\times 2^{\frac{1}{12}}=158,8}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_{10}=f_9 \times2^{\frac{1}{12}}= 158,8\times 2^{\frac{1}{12}}=168,2}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_{11}=f_{10} \times2^{\frac{1}{12}}= 168,2\times 2^{\frac{1}{12}}=178,2}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_{12}=f_{11} \times2^{\frac{1}{12}}= 178,2\times 2^{\frac{1}{12}}=188,8}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_{13}=f_{12 }\times2^{\frac{1}{12}}= 188,8\times 2^{\frac{1}{12}}=200}\) Hz

La fréquence de base est doublée, on peut donc s'arrêter.

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