Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

La cinématique et la dynamique Newtonienne

I

La cinématique

La cinématique est l'étude d'un mouvement au cours du temps. Le mouvement d'un objet est caractérisé par sa trajectoire et sa vitesse. Avant d'étudier ce mouvement il faut définir un référentiel d'étude.

A

Le référentiel d'étude

Référentiel d'étude

Le référentiel d'étude est le solide de référence choisi par l'expérimentateur à partir duquel le mouvement d'un objet est décrit.

On considère une voiture roulant sur une route en ligne droite à vitesse constante. En prenant comme référentiel d'étude un arbre sur le côté de la route, la trajectoire de la voiture sera une droite horizontale.

Pour étudier le mouvement dans le référentiel d'étude, on y associe :

  • Un repère d'espace orthonormé (O,i,j,k)dont l'origine O est fixée géométriquement dans le référentiel d'étude.
  • Un repère de temps dont l'origine est définie par le temps t=0.
B

Le vecteur position

Vecteur position

Le vecteur position est le vecteur repérant la position d'un point mobile M le long d'une trajectoire à un instant t par rapport à l'origine O d'un repère associé à un référentiel d'étude :

OM(t)=x(t).i+y(t).j+z(t).k

-
C

Le vecteur vitesse

Lors d'un mouvement, le vecteur position varie en norme ou en direction, créant ainsi un vecteur vitesse.

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse vM(t) d'un point mobile M à l'instant t est la dérivée temporelle du vecteur position :

vM(t)=dOM(t)dt=dx(t)dt.i+dy(t)dt.j+dz(t)dt.k

-

Le vecteur vitesse est caractérisé par :

  • Sa norme v(en m.s−1)
  • Sa direction, donnée par la tangente à la trajectoire au point M
  • Son sens qui correspond au sens du mouvement à l'instant t.
D

Le vecteur accélération

Lors d'un mouvement, le vecteur vitesse varie en norme ou en direction créant ainsi un vecteur accélération.

Vecteur accélération

Le vecteur accélération aM(t) d'un point mobile M à l'instant t est la dérivée temporelle du vecteur vitesse :

aM(t)=dvM(t)dt=dvx(t)dt.i+dvy(t)dt.j+dvz(t)dt.k

-

Le vecteur accélération est caractérisé par :

  • Sa valeur a (en m.s−2)
  • Sa direction, définie par la variation de direction du vecteur vitesse
  • Son sens, défini par la variation de norme du vecteur vitesse
E

Les différents mouvements

1

Le mouvement rectiligne

Mouvement rectiligne

Un mouvement est dit rectiligne si la trajectoire suivie par le point mobile est une droite.

Dans un mouvement rectiligne, le vecteur vitesse et le vecteur accélération sont colinéaires.

Les mouvements rectilignes sont qualifiés différemment en fonction du vecteur accélération :

  • Si aM(t)=0, le mouvement est rectiligne uniforme.
  • SiaM(t)=constante, le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
2

Le mouvement circulaire

Mouvement circulaire

Un mouvement est dit circulaire si la trajectoire suivie par le point mobile est un cercle.

Dans un mouvement circulaire, le vecteur accélération est toujours dirigé vers l'intérieur de la trajectoire.

Les mouvements circulaires sont qualifiés différemment en fonction des vecteurs vitesse et accélération :

  • Si la norme de la vitesse v est constante, le mouvement est circulaire uniforme.
  • Si aM(t)=constante, le mouvement est circulaire uniformément accéléré.
II

Le principe d'inertie

A

Le système et le milieu extérieur

Système

Le système est l'objet (ou l'ensemble d'objets) dont on étudie le mouvement. Tout ce qui n'est pas le système constitue le milieu extérieur.

On considère l'étude du mouvement d'un ballon de football lors d'un tir au but. Le système est le ballon et le milieu extérieur est composé de tout le reste (joueur, terrain, cage, filet, atmosphère, etc.).

Le milieu extérieur exerce sur le système des actions mécaniques diverses afin de modifier son mouvement. Pour modéliser ces actions mécaniques, on utilise des vecteurs appelés forces.

B

Le bilan des forces

Effectuer le bilan des forces consiste à répertorier toutes les forces qui s'exercent sur un système.

Dans le cas d'un ballon en mouvement pendant un tir au but au football, le système subit la force d'attraction de la Terre et la force de frottement des molécules d'air. Le bilan des forces comporte donc uniquement ces deux forces.

Système isolé

Un système est dit isolé si aucune force ne s'exerce sur lui.

Système pseudo-isolé

Un système est dit pseudo-isolé si les forces qui s'exercent sur lui se compensent.

C

Le principe d'inertie (ou première loi de Newton)

Première loi de Newton

La première loi de Newton (ou principe d'inertie) énonce que :

"Un système isolé ou pseudo-isolé initialement au repos ou en mouvement rectiligne uniforme demeure dans son état."

D

Les référentiels galiléens

Référentiel galiléen

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié.

Strictement, il n'existe aucun référentiel galiléen. Il est cependant possible de considérer certains référentiels usuels comme galiléens sous certaines conditions :

  • Le référentiel terrestre peut être considéré galiléen si la durée du mouvement ne dépasse pas quelques minutes afin de s'affranchir du mouvement de rotation propre de la Terre.
  • Le référentiel géocentrique peut être considéré galiléen si la durée du mouvement ne dépasse pas quelques heures afin de s'affranchir du mouvement de rotation de la Terre autour du Soleil.
  • Le référentiel héliocentrique est considéré galiléen car l'impact du mouvement de rotation du Soleil au sein de la galaxie est négligeable.
III

La quantité de mouvement

A

Le vecteur quantité de mouvement

Quantité de mouvement

La quantité de mouvement traduit la difficulté à modifier le mouvement d'un système.

Si on considère un ballon de football et une voiture possédant la même vitesse de 50 km/h. Bien qu'ayant la même vitesse, la masse du ballon étant bien plus faible que celle de la voiture, sa quantité de mouvement sera plus petite. Ainsi, le mouvement du ballon pourra être modifié bien plus facilement que celui de la voiture.

Vecteur quantité de mouvement

Le vecteur quantité de mouvement est défini par le produit suivant :

p(t)=m×v(t)

Avec :

  • p(t) la quantité de mouvement du système à l'instant t (en kg.m.s−1)
  • v(t) la vitesse du système à l'instant t (en m.s−1)
  • m la masse du système (en kg)

Le vecteur quantité de mouvement possède les caractéristiques suivantes :

  • Sa norme p, définie par le produit m×v (en kg.m.s−1)
  • Sa direction et son sens, identique à ceux du vecteur vitesse

Soit une voiture pesant 1,5 tonne et roulant à 36 km/h soit une vitesse de 10 m.s−1. Sa quantité de mouvement sera de :

p=m×v

p=m×v

p=1 500×10

p=15 000 kg.m.s−1

B

La quantité de mouvement et les forces extérieures

Les forces extérieures qui agissent sur le système modifient son mouvement et donc sa quantité de mouvement. La deuxième loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique) établit le lien entre les forces (la cause) et la variation de quantité de mouvement (la conséquence).

Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de Newton énonce que :

"La variation temporelle de la quantité de mouvement d'un système est égale à la résultante des forces qui s'applique sur ce système."

Ce qui se traduit par l'équation suivante :

dp(t)dt=iFi

Avec :

  • p(t) la quantité de mouvement (en kg.m.s−1)
  • iFi la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le système (en N)
C

La conservation de la quantité de mouvement

Si la résultante des forces extérieures est nulle, le vecteur quantité de mouvement est constant. On dit que la quantité de mouvement est conservée.

Conservation de la quantité de mouvement

La quantité de mouvement est conservée si le vecteur quantité de mouvement vérifie l'équation suivante :

dp(t)dt=0p(t)=constante

Cette équation traduit le principe d'inertie puisque :

  • La résultante des forces est nulle donc le système est isolé ou pseudo-isolé.
  • La quantité de mouvement est constante donc le mouvement ne change pas.

Si on considère une voiture en mouvement rectiligne uniforme. Son vecteur vitesse est donc constant. Le vecteur quantité de mouvement est donc lui aussi constant. La voiture gardera son mouvement rectiligne uniforme tant qu'aucune force extérieure ne s'appliquera sur elle.

D

Le principe des actions réciproques (ou troisième loi de Newton)

Troisième loi de Newton

La troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques) énonce que :

"Si un système A exerce une force FA/B sur un système B, alors le système B exerce une force FB/A sur le système A de même intensité, ayant la même direction mais de sens opposé."

Cela se traduit par l'équation vectorielle suivante :

FA/B=FB/A

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