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Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et position à partir de l'accélération

Les composantes des vecteurs vitesse et position se déduisent des composantes du vecteur accélération par intégrations successives.

Une pomme tombe d'un arbre sans vitesse initiale en subissant l'accélération de pesanteur \(\displaystyle{\overrightarrow{g}}\). Déterminer les composantes de \(\displaystyle{\overrightarrow{a_M\left(t\right)}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{v_M\left(t\right)}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\) pour chaque instant t.

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Etape 1

Relever les composantes du vecteur accélération \(\displaystyle{\overrightarrow{a_M\left(t\right)}}\)

On relève les composantes \(\displaystyle{\left(a_{M_x}\left(t\right),a_{M_y}\left(t\right),a_{M_z}\left(t\right)\right)}\) du vecteur accélération \(\displaystyle{\overrightarrow{a_M\left(t\right)}}\).

La pomme ne subit que l'accélération de pesanteur \(\displaystyle{\overrightarrow{g}}\) dirigée selon \(\displaystyle{\left(Oz\right)}\), on obtient les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{a_M\left(t\right)}}\) :

  • \(\displaystyle{ a_x\left(t\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{ a_y\left(t\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{ a_z\left(t\right)=-g}\)
Etape 2

Déterminer les composantes du vecteur vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_M\left(t\right)}}\) par intégration

On détermine les composantes \(\displaystyle{\left(v_{M_x}\left(t\right),v_{M_y}\left(t\right),v_{M_z}\left(t\right)\right)}\) du vecteur vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_M\left(t\right)}}\) en intégrant les composantes du vecteur accélération par rapport au temps.

Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_M\left(t\right)}}\) :

  • \(\displaystyle{v_x\left(t\right)=v_{0x} }\)
  • \(\displaystyle{v_y\left(t\right)=v_{0y} }\)
  • \(\displaystyle{ v_z\left(t\right)=-gt+v_{0z}}\)

La pomme n'ayant pas de vitesse initiale, on sait que :

\(\displaystyle{v_{0x}=v_{0y}=v_{0z}=0}\)

Ainsi :

  • \(\displaystyle{v_x\left(t\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{v_y\left(t\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{ v_z\left(t\right)=-gt}\)
Etape 3

Déterminer les composantes du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\)

On détermine les composantes \(\displaystyle{\left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right)}\) du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\) en intégrant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps.

Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\) à partir de \(\displaystyle{\overrightarrow{V_M\left(t\right)}}\) :

  • \(\displaystyle{x\left(t\right)=x_{0} }\)
  • \(\displaystyle{y\left(t\right)=y_{0} }\)
  • \(\displaystyle{z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}gt^2+z_{0}}\)

À l'instant initial, la pomme était en \(\displaystyle{\left(0,0,h\right)}\). Les composantes du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\) sont donc :

  • \(\displaystyle{x\left(t\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{y\left(t\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}gt^2+h}\)

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