Terminale S 2016-2017

En vous inscrivant, vous autorisez Kartable à vous envoyer ses communications par email.

ou
Se connecter
Mot de passe oublié ?
ou

Calculer une incertitude de répétabilité

On effectue successivement plusieurs mesures sur une grandeur physique X. On obtient une série de valeurs mesurées \(\displaystyle{x_i}\). La valeur moyenne \(\displaystyle{\overline{x}}\) de cette série de mesures définit la meilleure estimation de la valeur vraie. À cette valeur moyenne correspond une incertitude absolue de répétabilité, notée \(\displaystyle{U\left(\overline{x}\right)}\), dont la valeur est évaluée par une étude statistique.

Pour déterminer la valeur de la période T des oscillations d'un pendule, on effectue cinq mesures successives de cette période à l'aide d'un chronomètre. Les mesures sont effectuées dans les mêmes conditions par le même expérimentateur et avec le même chronomètre.

Numéro de la mesure 1 2 3 4 5
Valeur mesurée \(\displaystyle{T_1 = 15,3}\) s \(\displaystyle{T_2 = 15,4}\) s \(\displaystyle{T_3 = 15,2}\) s \(\displaystyle{T_4 = 15,6}\) s \(\displaystyle{T_5 = 15,3}\) s

La valeur moyenne \(\displaystyle{\overline{T}}\) de la période calculée à partir de l'ensemble des mesures est de 15,4 s.
Le niveau de confiance est de 95% et le facteur d'élargissement k vaut 2.

On souhaite calculer l'incertitude absolue de répétabilité \(\displaystyle{U\left(\overline{T}\right)}\) sur la valeur moyenne attachée à cette série de mesures.

Etape 1

Rappeler la valeur moyenne \(\displaystyle{\overline{x}}\) de la série de mesures

On donne la valeur de la moyenne sur la série de mesures.

La valeur moyenne de la série de mesures \(\displaystyle{\overline{T}}\) vaut 15,4 s.

Etape 2

Calculer l'écart-type \(\displaystyle{\sigma}\) sur la série de mesures

L'écart-type \(\displaystyle{\sigma}\) sur une série de n mesures de valeurs xi et dont la valeur moyenne est \(\displaystyle{\overline{x}}\) est donnée par la formule suivante :

\(\displaystyle{\sigma = \dfrac{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2}}{n-1}}\)

On effectue l'application numérique pour calculer l'écart-type de la série de mesures.

On calcule l'écart-type sur la série de mesures de la période des oscillations. Cet écart-type est donnée par la formule suivante :

\(\displaystyle{\sigma = \dfrac{\sqrt{\sum_{i=1}^{5}\left(T_i-\overline{T}\right)^2}}{5-1}}\)

On effectue l'application numérique :

\(\displaystyle{\sigma = \dfrac{\sqrt{\left(15,3-15,4\right)^2 + \left(15,2-15,4\right)^2 + \left(15,4-15,4\right)^2 + \left(15,6-15,4\right)^2 + \left(15,3-15,4\right)^2}}{5-1}}\)

\(\displaystyle{\sigma = 0,16}\)

Etape 3

Rappeler la valeur du facteur d'élargissement k

On donne la valeur du facteur d'élargissement k pour la série de mesures considérée, donnée en général dans l'énoncé.

D'après l'énoncé, le facteur d'élargissement k pour cette série de mesures vaut 2.

Etape 4

Rappeler la formule de l'incertitude absolue de répétabilité sur la valeur moyenne

L'incertitude absolue de répétabilité \(\displaystyle{U\left(x\right)}\) sur la valeur moyenne \(\displaystyle{\overline{x}}\) correspondant à la série de n mesures dont l'écart-type est \(\displaystyle{\sigma}\) et dont le facteur d'élargissement est k est donnée par la formule suivante :

\(\displaystyle{U\left(x\right) = \dfrac{k \times \sigma}{n}}\)

On en déduit la valeur de l'incertitude absolue de répétabilité \(\displaystyle{U\left(\overline{T}\right)}\) sur la valeur moyenne \(\displaystyle{\overline{T}}\) en utilisant la formule suivante :

\(\displaystyle{U\left(\overline{T}\right) = \dfrac{k \times \sigma}{n}}\)

Etape 5

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique pour calculer la valeur de l'incertitude absolue de répétabilité \(\displaystyle{U\left(x\right)}\).

On effectue l'application numérique :

\(\displaystyle{U\left(\overline{T}\right) = \dfrac{2 \times 0,16}{5}}\)

\(\displaystyle{U\left(\overline{T}\right) = 0,06}\) s

L'incertitude absolue de répétabilité vaut donc 0,06 seconde.