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La cinématique et la dynamique Newtonienne

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_M}\left(t\right)}\) d'un point mobile M à l'instant t est la dérivée temporelle du vecteur position :

\(\displaystyle{\overrightarrow{v_{M}}\left(t\right)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}\left(t\right)}{dt}=\dfrac{dx\left(t\right)}{dt}.\overrightarrow{i}+\dfrac{dy\left(t\right)}{dt}.\overrightarrow{j}+\dfrac{dz\left(t\right)}{dt}.\overrightarrow{k}}\)

Vecteur accélération

Le vecteur accélération \(\displaystyle{\overrightarrow{a_M}\left(t\right)}\) d'un point M à l'instant t est la dérivée temporelle du vecteur vitesse :

\(\displaystyle{\overrightarrow{a_{M}}\left(t\right)=\dfrac{d\overrightarrow{v_M}\left(t\right)}{dt}=\dfrac{dv_x\left(t\right)}{dt}.\overrightarrow{i}+\dfrac{dv_y\left(t\right)}{dt}.\overrightarrow{j}+\dfrac{dv_z\left(t\right)}{dt}.\overrightarrow{k}}\)

Vecteur quantité de mouvement

Le vecteur quantité de mouvement est défini par le produit suivant :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p}\left(t\right)=m\times\overrightarrow{v}\left(t\right)}\)

Avec :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{p}\left(t\right)}\) la quantité de mouvement du système à l'instant t (en kg.m.s−1)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\left(t\right)}\) la vitesse du système à l'instant t (en m.s−1)
  • m la masse du système (en kg)

Première loi de Newton

La première loi de Newton (ou principe d'inertie) énonce que :
"Un système isolé ou pseudo-isolé initialement au repos ou en mouvement rectiligne uniforme demeure dans son état."

Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de Newton énonce que :
"La variation temporelle de la quantité de mouvement d'un système est égale à la résultante des forces qui s'appliquent sur ce système."

Ce qui se traduit par l'équation suivante :

\(\displaystyle{\dfrac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\sum_{i}\overrightarrow{F_i}}\)

Avec :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{p}}\) la quantité de mouvement (en kg.m.s−1)
  • \(\displaystyle{\sum_{i}\overrightarrow{F_i}}\) la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le système (en N)

Conservation de la quantité de mouvement

La quantité de mouvement est conservée si le vecteur quantité de mouvement vérifie l'équation suivante :

\(\displaystyle{\dfrac{d\overrightarrow{p}\left(t\right)}{dt}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{p}\left(t\right)=\overrightarrow{constante}}\)

Troisième loi de Newton

La troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques) énonce que :
"Si un système A exerce une force \(\displaystyle{\overrightarrow{F_{A/B}}}\) sur un système B, alors le système B exerce une force \(\displaystyle{\overrightarrow{F_{B/A}}}\) sur le système A de même intensité, ayant la même direction mais de sens opposé."

Cela se traduit par l'équation vectorielle suivante :

\(\displaystyle{\overrightarrow{F_{A/B}}=-\overrightarrow{F_{B/A}}}\)

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