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Les différentes écritures d'un nombre

I

Les différentes écritures d'un nombre

A

L'écriture décimale

Écriture décimale

Tout nombre dont la partie décimale est finie admet une écriture décimale.

3,141592654 est une écriture décimale.

\(\displaystyle{\pi\approx3,141\ 592\ 654...}\) Ce n'est pas une écriture décimale car le nombre de chiffres après la virgule est infini.

  • Il est possible d'ajouter un nombre infini de 0 après la dernière décimale sans changer la valeur du nombre. Par convention, l'écriture décimale d'un nombre s'arrête à la dernière décimale différente de 0.
  • Dans cette convention, l'écriture décimale d'un entier ne présente pas de virgule.

\(\displaystyle{\dfrac{5}{2}}\) a pour écriture décimale : 2,5. Ce nombre est aussi égal à 2,50 ou 2,50000 par exemple.

4 est une écriture décimale. L'entier 4 vaut également : 4,0 ou 4,00, etc.

B

L'écriture fractionnaire

Écriture fractionnaire

Soient a et b deux nombres, avec b différent de 0.
L'écriture fractionnaire \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) représente le quotient de a par b. Lorsque a et b sont entiers, on dit que \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est une fraction.

\(\displaystyle{17,1\div5,6}\) a pour écriture fractionnaire \(\displaystyle{\dfrac{17,1}{5,6}}\).

Attention le dénominateur est toujours différent de 0. La division par 0 n'existe pas.

Écriture fractionnaire

Tout nombre dont la partie décimale est finie ou périodique (répétition infinie d'une séquence de décimales) admet une écriture fractionnaire.

\(\displaystyle{0,107\ 107\ 107...=\dfrac{107}{999}}\)

\(\displaystyle{0,33\ 333\ 333...=\dfrac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{0,454=\dfrac{454}{1\ 000}}\)

  • Un nombre admettant une écriture fractionnaire en admet une infinité, ce qui signifie que plusieurs fractions peuvent être égales au même nombre.
  • Un nombre admettant une écriture fractionnaire admet une écriture décimale dont la partie décimale est finie ou périodique.

2,45 admet pour écritures fractionnaires (entre autres) : \(\displaystyle{\dfrac{245}{100}}\), \(\displaystyle{\dfrac{49}{20}}\).

0,33333... admet pour écritures fractionnaires : \(\displaystyle{\dfrac{1}{3}}\), \(\displaystyle{\dfrac{6}{18}}\).

C

L'écriture scientifique

Tout nombre décimal non nul b admet une écriture de la forme suivante :

\(\displaystyle{a\times10^{p}}\)

avec p entier relatif, et :

  • \(\displaystyle{1 \leq a \lt 10}\) si le nombre est positif
  • \(\displaystyle{- 10 \lt a \leq -1}\) si le nombre est négatif.

Cette écriture est unique et s'appelle écriture scientifique du nombre b.

312,8 admet pour écriture scientifique : \(\displaystyle{3,128\times10^{2}}\).

−0,00056 admet pour écriture scientifique : \(\displaystyle{-5,6\times10^{-4}}\).

II

Quotients, puissances et racines carrées

A

Les quotients

Dans toutes les propriétés ci-dessous, a, b, c et d sont des nombres quelconques avec c et d non nuls.

\(\displaystyle{\dfrac{a}{c}=\dfrac{a \times d}{c \times d}}\)

On prend \(\displaystyle{d=3}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{4}{7}=\dfrac{4\times3}{7\times3}=\dfrac{12}{21}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a + b}{c}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{6}{17}+\dfrac{9}{17}=\dfrac{6+9}{17}=\dfrac{15}{17}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a - b}{c}}\)

\(\displaystyle{\dfrac83-\dfrac43=\dfrac{8-4}{3}=\dfrac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{c}\times \dfrac{b}{d}=\dfrac{a \times b}{c \times d}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{2}{5}\times\dfrac{8}{7}=\dfrac{2\times8}{5\times7}=\dfrac{16}{35}}\)

Si, de plus, \(\displaystyle{b\neq0}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}}\)

Produit en croix :

Si \(\displaystyle{\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}}\), alors \(\displaystyle{ad = bc}\)

\(\displaystyle{\dfrac{57}{21}=\dfrac{19}{7}}\) équivaut à \(\displaystyle{57\times7=19\times21}\)

Produit en croix :

Soient a, b, c et d sont des nombres quelconques avec c et d non nuls.

Si \(\displaystyle{\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}}\), alors \(\displaystyle{a\times d=b\times c}\)

Dans un calcul comportant des quotients, le trait de fraction tient lieu de parenthèses. Ce qui signifie notamment que le signe présent devant un quotient se répercute sur l'ensemble des nombres du numérateur.

\(\displaystyle{\dfrac{51}{11}-\dfrac{21 - 142}{11}=\dfrac{51 - \left(21 - 142\right)}{11}=\dfrac{51 {\color{Red}-} 21 {\color{Red}+} 142}{11}}\)
B

Les puissances

Puissance

Soit n un entier positif non nul supérieur ou égal à 1. On désigne par \(\displaystyle{a^{n}}\) la puissance n du nombre a, telle que :

\(\displaystyle{a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}}}\)

  • L'entier n est appelé l'exposant.
  • \(\displaystyle{a^{n}}\) se lit "a exposant n" ou "a puissance n".
  • \(\displaystyle{a^{n}}\) est appelé puissance n-ième de a.

\(\displaystyle{2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32}\)

Soit a un nombre non nul :

\(\displaystyle{a^{0} = 1}\)

\(\displaystyle{13^0=1}\)

Soit n un entier positif et a un nombre non nul :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{a^{n}}= a^{-n}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{4^{2}} = 4^{-2} }\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{4^{-3}} = 4^{3} }\)

Pour tout entier n :

\(\displaystyle{1^n=1}\)

Pour tout entier non nul n :

\(\displaystyle{0^n=0}\)

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls, n et p deux entiers relatifs :

\(\displaystyle{a^{n} \times a^{p} = a^{n+p}}\)

\(\displaystyle{3^{8} \times 3^{-2} = 3^{8-2} = 3^6}\)

\(\displaystyle{\left(a^{n}\right)^{p} = a^{n\times p}}\)

\(\displaystyle{\left(5^{2}\right)^{4} = 5^{2 \times 4} = 5^8}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a^{n}}{a^{p}}= a^{n-p}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{4^{5}}{4^{3}} = 4^{5-3} = 4^2}\)

\(\displaystyle{\left(ab\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}}\)

\(\displaystyle{\left(2\times5\right)^{3} = 2^{3} \times 5^{3}}\)

\(\displaystyle{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}}\)

\(\displaystyle{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9} = \dfrac{2^{9}}{3^{9}}}\)

Soit a un nombre non nul. Alors \(\displaystyle{a^{-1}}\) est l'inverse de a.

C

Les racines carrées

Racine carrée

Soit a un nombre positif.
On appelle la racine carrée de a le nombre positif dont le carré est a. On le note \(\displaystyle{\sqrt{a}}\). On a :

\(\displaystyle{\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a}\)

\(\displaystyle{\left( \sqrt{15} \right)^{2}=15}\)

Pour les racines carrées que l'on obtient pas directement à partir des tables de multiplication, c'est-à-dire les racines carrées des carrés parfaits, on utilise la calculatrice et la touche \(\displaystyle{\sqrt{}}\).
On obtient alors une valeur approchée du résultat dans la plupart des cas.

Carré parfait

On appelle carré parfait tout nombre égal au carré d'un entier.

Le tableau suivant donne les premiers carrés parfaits, c'est-à-dire les premiers carrés d'entiers naturels :

-

La racine carrée d'un carré parfait est donc un entier.

Soit a un nombre positif. On a :

\(\displaystyle{\sqrt{a^{2}} = a}\)

\(\displaystyle{\left(\sqrt{a}\right)^2 = a}\)

\(\displaystyle{\sqrt{16}=\sqrt{4^{2}}= 4}\)

Soit a un nombre négatif :

\(\displaystyle{\sqrt{a^{2}} = - a}\)

Par ailleurs, \(\displaystyle{\left(\sqrt{a}\right)^2}\) n'existe pas car \(\displaystyle{\sqrt{a}}\) n'existe pas.

\(\displaystyle{\sqrt{\left(- 5\right)^{2}}=\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}= 5}\)

Avec :

\(\displaystyle{5=-\left(-5\right)}\)

III

Les règles générales de calcul

A

Les priorités entre les opérations

Priorités des opérations

Dans une suite de calculs, on effectue dans l'ordre :

  • Les calculs entre parenthèses
  • Les puissances
  • Les multiplications et les divisions
  • Les additions et les soustractions

\(\displaystyle{A=13-15\times \underbrace{\left(81\div9-3^2\right)}_{\text{Parenthèse}}-8}\)

\(\displaystyle{A=13-15\times\left(81\div9-\underbrace{3^2}_{\text{1er calcul}}\right)-8}\)

\(\displaystyle{A=13-15\times\left(\underbrace{81\div9}_{\text{2e calcul}}-9\right)-8}\)

\(\displaystyle{A=13-15\times\left(\underbrace{9-9}_{\text{3e calcul}}\right)-8}\)

\(\displaystyle{A=13-\underbrace{15\times0}_{\text{4e calcul}}-8}\)

\(\displaystyle{A=13-0-8}\)

\(\displaystyle{A=13-8}\)

\(\displaystyle{A=5}\)

B

L'opposé d'un nombre

Opposé d'un nombre

Soit a un nombre quelconque. On appelle opposé de a le nombre \(\displaystyle{-a}\).

L'opposé du nombre 78 est −78.

  • Si a est un nombre positif, son opposé est négatif.
  • Si a est un nombre négatif, son opposé est positif.

L'opposé de (+56) est (−56).

L'opposé de (−8,1) est (+8,1).

Pour tout nombre a, on a :

\(\displaystyle{a + \left(- a\right) = \left(-a\right) + a = 0}\)

On remarque que \(\displaystyle{\left(−8,1\right) + \left(+8,1\right) = 0}\).

Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

\(\displaystyle{5,65 − 9,6 = 5,65 + \left(−9,6\right) = −3,95}\)

\(\displaystyle{17y − \left(−4x\right) = 17y + \left(+4x\right) = 17y + 4x}\)

Quand il y a un signe "-" devant une parenthèse, on peut supprimer les parenthèses et le signe "-", en réécrivant les termes de la parenthèse en changeant leurs signes.

\(\displaystyle{-\left( a+2 \right)=-a-2}\)

C

L'inverse d'un nombre

Inverse d'un nombre

Soit a un nombre non nul. L'inverse de a est le nombre qui, multiplié par a, donne 1.

\(\displaystyle{100\times0,01=1}\)

Ainsi, l'inverse de 100 est 0,01.

Si a est un nombre non nul, l'inverse de a est égal à :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{a}}\)

L'inverse de 5 est \(\displaystyle{\dfrac15=0,2}\).

L'inverse de −2 est \(\displaystyle{\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}=-0,5}\).

Soient a et b deux nombres non nuls. L'inverse de \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est \(\displaystyle{\dfrac{b}{a}}\).

L'inverse de \(\displaystyle{\dfrac{17}{31}}\) est \(\displaystyle{\dfrac{31}{17}}\).

L'inverse de \(\displaystyle{\dfrac{-7}{6}}\) est \(\displaystyle{\dfrac{-6}{7}}\).

L'inverse de \(\displaystyle{\dfrac{1}{12}}\) est \(\displaystyle{\dfrac{12}{1}=12}\).

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse. Soient a et b deux nombres non nuls, alors :

  • Diviser par a c'est multiplier par \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}}\).
  • Diviser par \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}}\) c'est multiplier par \(\displaystyle{a}\).
  • Diviser par \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) c'est multiplier par \(\displaystyle{\dfrac{b}{a}}\).

\(\displaystyle{125\div25=125\times\dfrac{1}{25}=125\times0,04=5}\)

\(\displaystyle{12\div\dfrac14=12\times4=48}\)

\(\displaystyle{18\div\dfrac{9}{2}=18\times \dfrac29=\dfrac{36}{9}=4}\)

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