Troisième 2016-2017
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Troisième 2016-2017

Les diviseurs et les multiples

I

Les diviseurs

A

Les diviseurs d'un entier

Diviseur d'un entier

Soient a et b deux entiers.
Le nombre b est un diviseur de a signifie que a est divisible par b, c'est-à-dire que le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

3 est un diviseur de 6, car : 6=3×2+0

En appelant q le quotient de la division euclidienne, on a alors la relation :

a=bq

8 est un diviseur de 24 car 24=8×3.

  • Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
  • Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et celui des unités est un multiple de 4.
  • Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
  • Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
  • Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.

Les nombres 14 ; 18 ; 26 et 30 se terminent par un nombre pair, ils sont donc divisibles par 2.

On considère le nombre 711. La somme de ses chiffres vaut 7+1+1=9 qui est un multiple de 3. 711 est donc un multiple de 3.

On considère le nombre 1216. Le nombre formé par le chiffre des dizaines et celui des unités est 16, qui est un multiple de 4. 1216 est donc un multiple de 4.

140 et 175 sont des multiples de 5.

On considère le nombre 171. La somme de ses chiffres vaut 1+7+1=9 qui est un multiple de 9. 171 est donc un multiple de 9.

1200 et 1840 sont des multiples de 10.

B

Les nombres premiers

Nombre premier

Un nombre premier est un nombre entier différent de 1 qui n'est divisible que par 1 et lui-même.

3 est premier car il n'est divisible que par 1 et par lui-même.

6 n'est pas premier car il est divisible par 1 ; 2 ; 3 et 6.

Il existe une infinité de nombres premiers.

Les 25 nombres premiers inférieurs à 100 sont :

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.

Soit N un entier supérieur ou égal à 2. Pour montrer que N est un nombre premier, il suffit de montrer que N n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à N.

Montrons que 47 est un nombre premier. On calcule :

476,9

Les nombres premiers inférieurs à 47 sont donc 2 ; 3 et 5. Or, on sait que :

  • 47 n'est pas divisible par 2.
  • 4+7=11 qui n'est pas un multiple de 3, donc 47 n'est pas divisible par 3.
  • 47 n'est pas divisible par 5.

Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose de façon unique (à l'ordre près) en un produit de facteurs premiers.

La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 45 est :

45=5×32

En effet, les nombres 5 et 3 sont premiers.

C

Les diviseurs communs à deux nombres

Diviseur commun

Dire qu'un nombre entier naturel d est un diviseur commun de deux nombres entiers a et b signifie que a et b sont tous les deux divisibles par d.

On recherche les diviseurs communs à 12 et 30.

  • Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
  • Les diviseurs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Les diviseurs communs à 12 et 30 sont donc les nombres : 1, 2, 3 et 6.

On dit que deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.

  • Les diviseurs de 19 sont 1 et 19.
  • Les diviseurs de 25 sont 1, 5 et 25.

Le seul diviseur commun de 19 et 25 est 1 : 19 et 25 sont premiers entre eux.

D

Les fractions irréductibles

Fraction irréductible

Soient a et b deux entiers avec b0. On dit que la fraction ab est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.

La fraction 1528 est irréductible car 15 et 28 sont premiers entre eux.

Soient a et b deux entiers avec b0. Si d est le plus grand diviseur commun à a et b, alors a:db:d sera une fraction irréductible.

On considère la fraction 1812.

  • Les diviseurs de 18 sont 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18.
  • Les diviseurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.

Le plus grand diviseur commun de 12 et 18 est donc 6. Ainsi, la fraction suivante est irréductible :

18:612:6=32

II

Les multiples

A

Les multiples d'un entier

Multiple d'un entier

Soient a et b deux entiers.
On dit que a est un multiple de b si b divise a.

6 est un multiple de 3, car 3 est un diviseur de 6.

Tout nombre admet une infinité de multiples.

Par exemple les multiples de 7 sont : 0, 7, 14, 21, 28, 35, etc.

B

Les multiples communs à deux nombres

Multiple commun

Soient a, b et m trois entiers.
Le nombre m est un multiple commun à a et à b s'il est divisible par a et par b.

On recherche des multiples communs à 4 et 14.

  • Les premiers multiples de 4 sont : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc.
  • Les premiers multiples de 14 sont : 0, 14, 28, 42, etc.

Les nombres 0 et 28 sont des multiples communs à 4 et 14.

C

Le plus petit dénominateur

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il peut être utile de déterminer le plus petit multiple commun aux deux dénominateurs.

Pour effectuer la somme de fractions suivante 318+745, il faut trouver le plus petit multiple commun de 18 et 45 pour réduire les fractions au dénominateur.

  • Les multiples de 18 sont : 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, etc.
  • Les multiples de 45 sont : 0, 45, 90, 135, etc.

Donc le plus petit multiple commun de 18 et 45 est 90.

Ainsi :

318+745=3×518×5+7×245×2=1590+1490=2990

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