Troisième 2016-2017
Kartable
Troisième 2016-2017

Notion de fonction

I

Les fonctions linéaires

A

Définition

Fonction linéaire

On appelle fonction linéaire le procédé qui, à tout nombre x, associe le nombre y=axa est un nombre fixé donné.

On la note xax cette fonction.

x2x est la fonction linéaire qui à tout nombre x associe son double.

x5x est la fonction linéaire qui multiplie tout nombre x par −5.

On donne souvent un nom à la fonction. Si on note f la fonction linéaire qui, à tout nombre x, associe le nombre y=ax, on note :

f:xax ou f(x)=ax

Image et antécédent

Avec les notations précédentes :

  • Le nombre y est appelé l'image de x par f.
  • Le nombre x est appelé antécédent de y par f.

Soit la fonction linéaire définie pour tout nombre x par :

f(x)=3x

Pour calculer l'image du nombre 2 par f, on remplace x par 2 :

f(2)=3×2=6

Dans cet exemple, 6 est l'image de 2 par f, et 2 est l'antécédent de 6 par f.

Soit f une fonction linéaire de coefficient a, c'est-à-dire f(x)=ax.

  • Tout nombre x admet une image par f et cette image est unique.
  • Si a0, tout nombre y admet un antécédent par f et cet antécédent est unique.
  • f(x) désigne donc l'image de x par f ; c'est un nombre.
  • f n'est pas un nombre, mais une fonction.
B

Caractérisation

Une fonction linéaire est définie par son coefficient a. Il suffit ainsi de connaître la valeur de a pour être en mesure de calculer l'image et l'antécédent de tout nombre par la fonction.

Considérons la fonction linéaire de coefficient a=7.

Si on veut calculer l'image du nombre 6, il suffit de multiplier 6 par a, ce qui donne 6×7=42. L'image de 6 est 42.

Pour calculer l'antécédent de 14, on divise 14 par a. Ainsi, on obtient : 14÷7=2. L'antécédent de 14 est 2.

Pour une fonction linéaire donnée, toutes les images sont proportionnelles aux antécédents suivant le coefficient a. Par conséquent, il suffit de connaître l'image d'un nombre non nul par une fonction linéaire pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient a, et donc l'expression générale de f.

Le tableau suivant représente des antécédents et leurs images par une fonction linéaire. On peut remarquer la situation de proportionnalité entre les images et les antécédents.

Pour obtenir les images, on multiplie les antécédents par 3, ce qui signifie que le coefficient de la fonction linéaire est a=3. Son expression est donc : f(x)=3x.

-
C

L'application aux pourcentages d'évolution

On considère un prix de départ égal à x.

Si le prix augmente de t%, le nouveau prix y est égal à :

y=(1+t100)x

Si le prix diminue de t%, le nouveau prix y est égal à :

y=(1t100)x

Ainsi, la relation qui permet de calculer un prix après un pourcentage d'augmentation ou de diminution est une fonction linéaire, dont le coefficient est égal à :

  • a=1+t100en cas d'augmentation
  • a=1t100en cas de diminution

Si l'augmentation du prix est de 16%, le coefficient est :

a=1+16100=1+0,16=1,16

Si l'ancien prix est x=136 euros, alors le nouveau prix y est :

y=1,16x=1,16×136=157,76 euros.

Si la diminution du prix est de 18%, le coefficient est :

a=118100=10,18=0,82

Si l'ancien prix est x=120 euros, alors le nouveau prix y est :

y=0,82x=0,82×120=98,4 euros.

D

La représentation graphique

Représentation graphique

On considère le plan muni d'un repère (O;I;J). La représentation graphique d'une fonction affine xax est l'ensemble des points de coordonnées (a;ax)x décrit l'ensemble de tous les nombres.

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire xax est une droite passant par l'origine O. Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite.

-

Soit la fonction linéaire définie pour tout nombre x par :

f(x)=0,5x

Sa représentation graphique dans le repère est la droite tracée en bleu ci-dessous :

-

On peut lire graphiquement les images en ordonnée, sur l'axe (Oy), et les antécédents en abscisse, sur l'axe (Ox).

Dans cet exemple, on constate que f(8)=4. On peut dire aussi :

  • 4 est l'image de 8.
  • 8 est l'antécédent de 4.

On retrouve le même résultat par le calcul :

0,5×8=4

Réciproquement, toute droite non verticale (d) passant par l'origine du repère est la représentation graphique d'une fonction linéaire.

En considérant un point A appartenant à (d) et distinct de l'origine du repère dont les coordonnés dans le plan sont notées (xA,yA), le coefficient directeur a de la droite (d) se calcule de la manière suivante :

a=yAxA

II

Les fonctions affines

A

Définition

Fonction affine

On appelle fonction affine le procédé qui, à tout nombre x, associe le nombre y=ax+b, où a et b sont des nombres fixes donnés. On note xax+b cette fonction.

La fonction f définie par f(x)=3x+5 est affine avec a=3 et b=5.

On distingue deux formes de fonctions affines particulières :

  • Si b=0, la fonction est linéaire (une fonction linéaire est une fonction affine).
  • Si a=0, la fonction est constante (tous les nombres ont même image, égale à b).

La fonction définie par f(x)=6x+0=6x est une fonction linéaire avec a=6 et b=0.

La fonction définie par f(x)=9 est une fonction constante avec a=0 et b=9.

Soit f une fonction affine du type f(x)=ax+b :

  • Tout nombre x admet une image par f et cette image est unique.
  • Si a0, tout nombre y admet un antécédent par f et cet antécédent est unique.
  • f(x) désigne donc l'image de x par f ; c'est un nombre.
  • f n'est pas un nombre, mais une fonction.
B

Caractérisation

Une fonction affine est définie par son coefficient a et le nombre b. Il suffit ainsi de connaître les valeurs de a et b pour être en mesure de calculer l'image et l'antécédent de tout nombre par la fonction.

Soit la fonction affine définie par :

f(x)=2x4.

Ici, on connaît a et b. On peut calculer l'image de 5 en remplaçant x par 5 :

f(5)=2×54=104=6.

L'image de 5 est donc 6.

On peut également déterminer l'antécédent de −1, en résolvant une équation :

2x4=1

2x=1+4

2x=3

x=32.

L'antécédent de −1 est 32.

On peut regrouper plusieurs images et antécédents dans un tableau de valeur.

Un tableau de valeurs de la fonction affine f(x)=4x7 est par exemple :

x−15101220
f(x)−1113334173

Un tableau de valeurs d'une fonction affine n'est en général pas un tableau de proportionnalité.

Pour une fonction affine donnée, l'accroissement des images (c'est-à-dire la différence entre deux images) est proportionnel à l'accroissement des antécédents correspondants suivant le coefficient a. Par conséquent, il suffit de connaître les images y1 et y2 de deux nombres x1 et x2 par une fonction affine pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient a :

a=y2y1x2x1

On peut ensuite en déduire la valeur de b, et donc l'expression générale de la fonction affine.

Si l'image de x1=2 par une fonction affine f est y1=3, et si celle de x2=1 est y2=3 , alors on peut déterminer le coefficient a.

a=y2y1x2x1=3(3)1(2)=3+31+2=63=2

L'expression de la fonction affine est donc de la forme : f(x)=2x+b.

On va alors déterminer b, en utilisant une des deux informations concernant les images. Par exemple, f(x2)=y2. On obtient l'équation d'inconnue b suivante :

2×1+b=3

b=32

b=1.

En conclusion ,l'expression de la fonction affine est :

f(x)=2x+1

C

La représentation graphique

Représentation graphique d'une fonction affine

On considère le plan muni d'un repère (O;I;J). La représentation graphique d'une fonction affine xax+b est l'ensemble des points de coordonnées (a;ax+b)x décrit l'ensemble de tous les nombres.

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine xax+b est une droite coupant l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;b). Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite (ou pente de la droite), et le nombre b ordonnée à l'origine.

-

Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente) uniquement lorsque l'on parle de la droite. Si on parle de la fonction, a est simplement nommé coefficient.

Réciproquement, toute droite (d) coupant l'axe des ordonnées du repère est la représentation graphique d'une fonction affine.

L'ordonnée à l'origine b est alors l'ordonnée du point de la droite (d) d'abscisse 0.

Le coefficient directeur a s'obtient à partir des coordonnés de deux points distincts de la droite notés A(xA,yA) et B(xB,yB) :

a=yByAxBxA

Les droites représentant respectivement la fonction affine xax+b et la fonction linéaire xax, de même coefficient directeur a, sont parallèles.

-
III

La généralisation de la notion de fonction

A

Principe

Fonction numérique

Toute relation qui associe à un nombre variable x, pris dans un ensemble donné, un unique nombre y, définit une fonction numérique.

L'expression y=3x25x+1 pour un nombre x quelconque est celle d'une fonction numérique, notée f(x)=3x25x+1 si on appelle cette fonction f.

Les fonctions linéaires et affines sont des fonctions numériques parmi d'autres.
B

Vocabulaire

Ensemble de définition

On appelle ensemble de définition de la fonction f l'ensemble D des nombres x pour lesquels f(x) est définie.

La fonction racine carrée est définie sur l'ensemble des nombres positifs.

Image

Soit f une fonction définie sur un ensemble D et soit x un nombre de D. On appelle image de x par f le nombre y=f(x).

Considérons la fonction définie par :

f(x)=3x6+1xx0

On peut déterminer l'image de 4 en remplaçant x par 4.

Ainsi l'image de 4, notée f(4), est :

f(4)=3×46+14=126+0,25=6,25

Si elle existe, l'image de x par f est unique.

Antécédent

Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On appelle antécédents de y par f le ou les nombres x qui vérifie(nt) :

f(x)=y

Déterminons les antécédents de 36 par la fonction f définie par f(x)=x2.

Pour cela on résout l'équation, d'inconnue x, suivante :

x2=36.

On obtient deux solutions qui sont :

x=36=6 et x=36=6.

Les antécédents de 36 par f sont donc 6 et −6.

Un nombre peut admettre zéro, un ou plusieurs antécédents par f.

-
  • Le nombre 0 n'a pas d'antécédent par la fonction f définie par f(x)=1x, où x0. En effet l'équation, 1x=0 n'a pas de solution.
  • Le nombre 0 a trois antécédents par la fonction g définie par g(x)=(x+1)(2x)(x6). En effet l'équation (x+1)(2x)(x6)=0 possède trois solutions qui sont : −1, 2 et 6 (règle du produit nul).
C

La représentation graphique

Courbe représentative

Soit f une fonction définie sur un ensemble D. La courbe représentative Cf d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées (x;f(x)) pour x décrivant l'ensemble D.

-
En dehors des fonctions linéaires et affines, la représentation graphique d'une fonction n'est pas une droite.
  • L'image de x par f est l'ordonnée du point de Cf d'abscisse x.
  • Les antécédents de y par f sont les abscisses des points de Cf d'ordonnée y.

Sur le graphique ci-dessous, on peut lire l'image du nombre 4,5, qui est 1.

On peut aussi déterminer les antécédents de 3, qui sont −5 et 6.

-
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