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J'ai compris

La trigonométrie

I

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

A

Le cosinus

Cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :

\(\displaystyle{\cos\left(\alpha \right) =\dfrac{\color{Blue}{\text{côté adjacent}}}{\color{Red}{\text{hypoténuse}}}}\)

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

\(\displaystyle{\cos\left( \widehat{ABC} \right) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{\cos\left( \widehat{ACB} \right) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}}\)

Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

B

Le sinus

Sinus

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal à :

\(\displaystyle{\sin\left(\alpha \right) =\dfrac{\color{Blue}{\text{côté opposé}}}{\color{Red}{\text{hypoténuse}}}}\)

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

\(\displaystyle{\sin\left( \widehat{ABC} \right) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}}\)

\(\displaystyle{\sin\left( \widehat{ACB} \right) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}}\)

Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

C

La tangente

Tangente

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égal à :

\(\displaystyle{\tan\left(\alpha \right) =\dfrac{\color{Red}{\text{côté opposé}}}{\color{Blue}{\text{côté adjacent}}}}\)

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

\(\displaystyle{\tan\left( \widehat{ABC} \right) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{\tan\left( \widehat{ACB} \right) = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}}\)

La tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais pas nécessairement inférieure à 1 comme le sinus et le cosinus.

D

Déterminer un angle avec la calculatrice

Déterminer un angle

Connaissant le cosinus, le sinus, ou la tangente d'un angle aigu, on peut retrouver la valeur de cet angle à l'aide des fonctions \(\displaystyle{\cos^{-1}}\), \(\displaystyle{\sin^{-1}}\) et \(\displaystyle{\tan^{-1}}\) de la calculatrice.

-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

\(\displaystyle{\sin\left( \widehat{ABC} \right) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}}\) d'où \(\displaystyle{\widehat{ABC}=\sin^{-1}\left( \dfrac45 \right)\approx53^\circ}\).

Veiller à ce que la calculatrice soit réglée en degrés décimaux.

II

Relations trigonométriques fondamentales

Somme des carrés

Pour tout angle aigu \(\displaystyle{\alpha }\) :

\(\displaystyle{\cos^{2}\left(\alpha \right) + \sin^{2}\left(\alpha \right) = 1}\)

En connaissant par exemple le cosinus d'un angle, on peut en déduire le sinus.

Si \(\displaystyle{\cos\left(\alpha\right)=\dfrac34}\) alors on peut écrire :

\(\displaystyle{\left( \dfrac34 \right)^{2}+\sin^2\left( \alpha \right)=1}\)

D'où :

\(\displaystyle{\sin^2\left( \alpha \right)=1-\left( \dfrac34 \right)^{2}=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{\sin\left(\alpha\right)=\sqrt{\dfrac{7}{16}}=\dfrac{\sqrt7}{4}}\)

Tangente

Pour tout angle aigu \(\displaystyle{\alpha }\) différent de 90° :

\(\displaystyle{\tan\left(\alpha \right) =\dfrac{\sin\left(\alpha \right)}{\cos\left(\alpha \right)}}\)

En connaissant le sinus et le cosinus d'un angle on peut calculer sa tangente.

Si \(\displaystyle{\sin\left(\alpha\right)=\dfrac12}\) et \(\displaystyle{\cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}}\), alors :

\(\displaystyle{\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\dfrac12}{\dfrac{\sqrt3}{2}}=\dfrac12\times\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}}\)

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