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Chapitre 3 Les diviseurs et les multiples

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Les diviseurs et les multiples

I

Les diviseurs

A

Les diviseurs d'un entier

Diviseur d'un entier

Soient a et b deux entiers.
Le nombre b est un diviseur de a signifie que a est divisible par b, c'est-à-dire que le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

3 est un diviseur de 6, car : 6=3×2+0

En appelant q le quotient de la division euclidienne, on a alors la relation a=bq.

8 est un diviseur de 24 car 24=8×3.

B

Les nombres premiers

Nombre premier

Un nombre premier est un nombre entier différent de 1 qui n'est divisible que par 1 et lui-même.

Les nombres : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... sont premiers.

Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout nombre entier peut s'écrire de manière unique comme une décomposition en produit de facteurs premiers.

La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 45 est :

45=5×32

En effet, les nombres 5 et 3 sont premiers.

C

Les diviseurs communs à deux nombres

Diviseur commun

Soient a, b et d trois entiers.
Le nombre d est un diviseur commun à a et à b s'il est un diviseur de a et de b.

On recherche les diviseurs communs à 12 et 30.

Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Les diviseurs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Les diviseurs communs à 12 et 30 sont donc les nombres : 1, 2, 3 et 6.

  • Si d est un diviseur commun à a et b, alors d est un diviseur de ab(ou ba ).
  • Si d est un diviseur commun à a et b (avec a>b ), alors d est un diviseur du reste de la division euclidienne de a par b.

9 est un diviseur commun de 18 et 45.

La différence de 45 et 18 donne : 45 − 18 = 27. Le nombre 27 est divisible par 9.

La division euclidienne de 45 par 18 donne : 45=18×2+9. Le reste est 9, qui est divisible par 9.

D

Le PGCD et les fractions irréductibles

Plus grand diviseur commun

Le plus grand diviseur commun à a et b est noté PGCD (a;b).

PGCD (12 ; 30) = 6

Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

19 et 25 sont premiers entre eux car PGCD (19 ; 25) = 1.

Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

La fraction 1528 est irréductible car 15 et 28 sont premiers entre eux.

Pour obtenir une fraction irréductible, on simplifie le quotient au maximum, jusqu'à ce que numérateur et dénominateur n'aient plus de diviseur commun.

1 0501 650=5×7×3×105×3×11×10=711

II

Les multiples

A

Les multiples d'un entier

Multiple d'un entier

Soient a et b deux entiers.
Le nombre a est un multiple de b signifie que b est un diviseur de a.

6 est un multiple de 3, car 3 est un diviseur de 6.

Tout nombre admet une infinité de multiples.

Par exemple les multiples de 7 sont : 0, 7, 14, 21, 28, 35, etc.

B

Les multiples communs à deux nombres

Multiple commun

Soient a, b et m trois entiers.
Le nombre m est un multiple commun à a et à b s'il est divisible par a et par b.

On recherche des multiples communs à 4 et 14.

Les premiers multiples de 4 sont : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...
Les premiers multiples de 14 sont : 0, 14, 28, 42...

Les nombres 0 et 28 sont des multiples communs à 4 et 14.

C

Le PPCM et le plus petit dénominateur commun

Plus petit multiple commun

Le plus petit multiple commun non nul à a et b est noté PPCM (a;b).

PPCM (4 ; 14) = 28

Le PPCM est utile pour additionner ou soustraire deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur, puisqu'il permet de déterminer leur plus petit dénominateur commun.

Pour effectuer la somme de fractions suivante 318+745, il faut trouver le PPCM de 18 et 45 pour réduire les fractions au dénominateur.

Les multiples de 18 sont : 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, ...

Les multiples de 45 sont : 0, 45, 90, 135, ...

Donc PPCM (18 ; 45) = 90.

318+745=3×518×5+7×245×2=1590+1490=2990