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Les probabilités

I

L'environnement probabiliste

A

L'expérience aléatoire

Expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n'est pas prévisible de façon certaine.

Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n'est prévisible de façon certaine.

Eventualité (ou issue)

Les résultats possibles d'une expérience sont généralement appelés éventualités (ou issues).

Les éventualités de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces, notées \(\displaystyle{e_{i}}\), sont :

  • \(\displaystyle{e_{1}}\) : obtenir la face 1
  • \(\displaystyle{e_{2}}\) : obtenir la face 2
  • \(\displaystyle{e_{3}}\) : obtenir la face 3
  • \(\displaystyle{e_{4}}\) : obtenir la face 4
  • \(\displaystyle{e_{5}}\) : obtenir la face 5
  • \(\displaystyle{e_{6}}\) : obtenir la face 6

Epreuve

On appelle épreuve une expérience dont les différentes issues sont aléatoires et auxquelles on peut attacher des fréquences d'apparition connues ou estimées.

Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une épreuve. On sait que la fréquence d'apparition de chaque face est égale à \(\displaystyle{\dfrac16}\).

B

Les événements

Evénement

Un événement est un ensemble d'éventualités (ou d'issues).

On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On souhaite étudier l'événement A :

A : "obtenir un multiple de 3 ou de 5"

Les éventualités correspondant à cet événement sont :

  • \(\displaystyle{e_{3}}\) : obtenir la face 3
  • \(\displaystyle{e_{5}}\) : obtenir la face 5
  • \(\displaystyle{e_{6}}\) : obtenir la face 6
-

Evénement élémentaire

Une éventualité (ou issue) est appelée événement élémentaire.

On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On souhaite étudier l'événement A

A : "obtenir un multiple de 3 ou de 5".

Chacune des issues de cet événement (obtenir la face 3, 5 ou 6) est un événement élémentaire.

Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément.

Soient :

  • P : "obtenir un nombre pair "
  • T : "obtenir 3"

Les événements P et T sont incompatibles : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

On appelle événement contraire de l'événement \(\displaystyle{A}\), noté \(\displaystyle{\overline{A}}\), l'ensemble des éventualités qui ne sont pas dans \(\displaystyle{A}\).

On considère le lancer d'un dé équilibré à six faces. Soit :

M : "obtenir un multiple de 3" ce qui revient à "obtenir la face 3 ou la face 6"

L'événement contraire de M est :

\(\displaystyle{\overline{M}}\) : "ne pas obtenir un multiple de 3" ce qui revient à "n'obtenir ni la face 3 ni la face 6"

C

Le calcul d'une probabilité

Situation équiprobable

On appelle situation équiprobable une expérience où toutes les éventualités ont la même probabilité d'être réalisées.

Si on lance un dé équilibré, la probabilité de sortie de chaque face est égale. On est donc dans une situation d'équiprobabilité.

Probabilité

En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement \(\displaystyle{A}\), notée \(\displaystyle{p\left( A \right)}\), est égale à :

\(\displaystyle{\dfrac{\text{Nombre d'éventualités réalisant } A}{\text{Nombre total d'éventualités}}}\)

On lance un dé équilibré à 6 faces. On cherche la probabilité de l'événement A suivant :

A : "obtenir un multiple de 3 ou de 5"

Il existe 3 éventualités réalisant cet événement :

  • \(\displaystyle{e_{3}}\) : obtenir la face 3
  • \(\displaystyle{e_{5}}\) : obtenir la face 5
  • \(\displaystyle{e_{6}}\) : obtenir la face 6

De plus, le dé étant équilibré, la situation est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir.

On en conclut finalement que la probabilité de l'événement \(\displaystyle{A}\) est égale à :

\(\displaystyle{p\left(A\right)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}}\)

II

Les représentations graphiques des éventualités

A

L'arbre

Pour visualiser toutes les éventualités résultant de la répétition d'une même expérience, on peut utiliser un arbre.

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite, et on note les apparitions des piles (notés P) ou faces (notés F) :

-
B

Le tableau à double entrée

Pour visualiser toutes les éventualités résultant de deux expériences menées parallèlement, on peut utiliser un tableau à double entrée.

On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces, et on étudie le couple de numéros obtenu (résultat du 1er dé ; résultat du 2e dé) :

1er dé \ 2nd 1 2 3 4 5 6
1 (1 ; 1) (1 ; 2) (1 ; 3) (1 ; 4) (1 ; 5) (1 ; 6)
2 (2 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 3) (2 ; 4) (2 ; 5) (2 ; 6)
3 (3 ; 1) (3 ; 2) (3 ; 3) (3 ; 4) (3 ; 5) (3 ; 6)
4 (4 ; 1) (4 ; 2) (4 ; 3) (4 ; 4) (4 ; 5) (4 ; 6)
5 (5 ; 1) (5 ; 2) (5 ; 3) (5 ; 4) (5 ; 5) (5 ; 6)
6 (6 ; 1) (6 ; 2) (6 ; 3) (6 ; 4) (6 ; 5) (6 ; 6)

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