Démontrer qu'un triangle est rectangle en utilisant le produit scalaire Exercice

On considère les points A\left(3;4\right), B\left(3;0\right) et C\left(5;4\right).

Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\times2+\left(-4\right)\times 0=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 15 \cr\cr 0 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\times15+4\times 0=0

Les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 15 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=0\times2-15\times 0=0

Les vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\times\left(-2\right)+4\times 0=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

On considère les points A\left(1;0\right), B\left(4;9\right) et C\left(-5;2 \right).

Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -6 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=3\times\left(-6\right)+9\times 2=-18+18=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -3 \cr\cr -9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6 \cr\cr -2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-3\times6+\left(-9\right)\times \left(-2\right)=-18+18=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 9 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -6 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -9 \cr\cr -7 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=3\times\left(-9\right)+9\times \left(-7\right)=-27-63=-90 et \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\left(-6\right)\times\left(-9\right)+2\times \left(-7\right)=54-14=40 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 9 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -6 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -9 \cr\cr -7 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=3\times\left(-7\right)-9\times \left(-9\right)=-21+81=60 et \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\left(-6\right)\times\left(-7\right)-2\times \left(-9\right)=42+18=60 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en A.

On considère les points A\left(2;3\right), B\left(3;1\right) et C\left(6;5 \right).

Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times4+\left(-2\right)\times 2=4-4=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \cr\cr -2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-1\times4+2\times \left(-2\right)=4-4=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=1\times3+\left(-2\right)\times 4=3-8=-5 et \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=4\times3+2\times 4=12+8=20 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=1\times4-\left(-2\right)\times 3=4+6=10 et \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=4\times4-2\times3=8-6=2 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en A.

On considère les points A\left(2;1\right), B\left(6;3\right) et C\left(-2;9 \right).

Le triangle ABC est rectangle en A ?

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \cr\cr 8 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4\times\left(-4\right)+2\times 8=-16+16=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -4 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr -8 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(-4\right)\times4+\left(-2\right)\times\left(-8\right)=-16+16=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \cr\cr 8 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -8 \cr\cr 6 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=4\times\left(-8\right)+2\times 6=-32+12=-20 et \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\left(-4\right)\times\left(-8\right)+8\times 6=32+48=80 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \cr\cr 8 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -8 \cr\cr 6 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=4\times6-2\times \left(-8\right)=24+16=40 et \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\left(-4\right)\times6-8\times \left(-8\right)=-24+64=40 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en A.

On considère les points A\left(4;2\right), B\left(2;-1\right) et C\left(-1;1 \right).

Le triangle ABC est-il rectangle en B ?

\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=2\times\left(-3\right)+3\times 2=-6+6=0

Les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en B.

\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr -3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\left(-2\right)\times3+\left(-3\right)\times \left(-2\right)=-6+6=0

Les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en B.

\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -5 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=-10-3=-13 et \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=15-2=13 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en B.

\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -5 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=-2+10=8 et \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Ainsi \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=3-\left(-10\right)=13 et \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en B.

On considère les points A\left(1;9\right), B\left(2;8\right) et C\left(5;11 \right).

Le triangle ABC est-il rectangle en B ?

\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\left(-1\right)\times3+1\times 3=-3+3=0

Les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en B.

\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=1\times3+\left(-1\right)\times3=3-3=0

Les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en B.

\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=-4+2=-2 et \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=12+6=18 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en B.

\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=-2+4=2 et \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=6-12=-6 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en B.

On considère les points A\left(1;5\right), B\left(5;2\right) et C\left(4;9 \right).

Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4\times3+\left(-3\right)\times 4=12-12=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -4 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -3 \cr\cr -4 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-4\times\left(-3\right)+3\times \left(-4\right)=12-12=0

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -1 \cr\cr 7 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-4-21=-25 et \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=-3+28=25 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -1 \cr\cr 7 \end{pmatrix}

Ainsi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=28-\left(-3\right)=31 et \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en B.

Ainsi \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=21-\left(-4\right)=25 et \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\neq0. Ainsi le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

Alors le triangle ABC est rectangle en A.