Soit f(x) la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = 2x^2-4x-2
Soit C la parabole associée.
On pose d la droite d'équation cartésienne : y=3.
Quelles sont les variations de f ?
Pour étudier les variations d'une fonction du second degré, il faut d'abord trouver le signe de sa dérivée.
Ici, f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que polynôme du second degré et :
f'(x) = 4x-4
On étudie le signe de f' :
f'(x) >0 \Leftrightarrow 4x-4>0 \Leftrightarrow 4x>4 \Leftrightarrow x>1
f' est strictement positive sur \left]1;+\infty \right[ et négative sinon.
La parabole C, courbe représentative de la fonction f, est donc décroissante sur \left]-\infty ; 1 \right[ et croissante sur \left]1;+\infty \right[ .
Par déduction, quel est le nombre de points d'intersection entre la droite d et la parabole C ?
La droite d est ici une droite particulière d'équation y=3. Cela signifie que la droite d est parallèle à l'axe des abscisses, et surélevée de 3 unités par rapport à cet axe.
Or, d'après la question précédente, la fonction f admet un minimum au point d'abscisse 1, donc la parabole C atteint son minimum en C.
Pour déterminer le nombre de points d'intersections entre C et d, il suffit donc de comparer ce minimum à trois, c'est-à-dire de déterminer si la parabole C descend en dessous de la droite d.
Ici :
f(1) = 2\times1^2 -4\times 1 -2 = 2-4-2=-4 < 3
Ainsi, le minimum de la parabole C est inférieur à 3.
Le parabole C et la droite d ont donc deux points d'intersection.
Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de C et d ?
Le point M\: (x;y) est un point d'intersection de C et d \Leftrightarrow M\in \: d \: \text{et} \: M\in \: C .
Donc les coordonnées de M satisfont :
\left \{ \begin{array}{rcl} y=2x^2-4x-2 \\ y=3 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 2x^2-4x-5 = 0 \\ y=3 \end{array} \right. par soustraction de la ligne 1 et 2
On résout l'équation du second degré afin de déterminer la coordonnée x de M.
Calcul du déterminant :
\delta = b^2 -4ac = 16 -4\times (-5) \times 2 = 16+40 = 56
Calcul des racines :
x_1 = \dfrac{- b +\sqrt{\delta}}{2a} = \dfrac{4+\sqrt{56}}{4} = \dfrac{4+\sqrt{4}\times \sqrt{14} }{4} = \dfrac{2+\sqrt{14}}{2}
x_2 = \dfrac{- b -\sqrt{\delta}}{2a} =\dfrac{2-\sqrt{14}}{2}
Ainsi, comme on l'a prouvé à la question précédente, la droite d et la parabole C ont deux points d'intersection de coordonnées :
M_1 \: (\dfrac{2-\sqrt{14}}{2} ;3 )
M_2 \: (\dfrac{2+\sqrt{14}}{2} ;3 )