Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\{-1\} par :
f(x) = \frac{x^2+5x+6}{x+1}
Quel est le domaine de dérivabilité de la fonction f ?
La fonction f n'est pas définie en x=-1, et n'est donc pas dérivable en ce point.
Son numérateur est dérivable sur \mathbb{R}.
Son dénominateur est dérivable sur \mathbb{R} et est non nul sur \mathbb{R}\backslash\{-1\}.
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}\backslash\{-1\}.
Quelle est la fonction dérivée f' de la fonction f ?
La fonction f est un quotient de fonctions.
On note f=\frac{u}{v} où u(x)=x^2+5x+6 et v(x)=x+1.
On a donc u'(x) = 2x+5 et v'(x) = 1.
Finalement :
f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
f'(x) = \frac{(2x+5)\times(x+1)-(x^2+5x+6)\times 1}{(x+1)^2}
f'(x) = \frac{2x^2+2x+5x+5-x^2-5x-6}{(x+1)^2}
f'(x) = \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}
La fonction dérivée f' de la fonction f est donc f'(x) = \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}.
On étudie à présent le signe de la fonction dérivée f'.
Quel est le signe du dénominateur d de f' ?
Le dénominateur de f'(x) est d(x)=(x+1)^2.
C'est un carré. Il est donc positif ou nul sur \mathbb{R}.
Il n'est nul qu'en x=-1 et est donc strictement positif sur \mathbb{R}\backslash\{-1\}.
Le signe du dénominateur de f' est donc :
- d(x) > 0 lorsque x<-1
- d(x) > 0 lorsque x>-1
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond au tableau de signes de n(x), le numérateur de f'(x) ?
Le numérateur de f'(x) est n(x) = x^2+2x-1.
C'est un trinôme du second degré.
Son discriminant est \Delta = (2)^2-4\times 1\times (-1) = 8.
Ses deux racines x_1 et x_2 sont donc :
x_1 = \frac{-2-\sqrt{8}}{2 \times 1} = -1-\sqrt{2}
x_2 = \frac{-2+\sqrt{8}}{2 \times 1} = -1+\sqrt{2}
En effet :
\sqrt{8} = \sqrt{2^2\times 2} = \sqrt{2^2}\times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
Le coefficient du terme en x^2 est positif, donc ce trinôme est positif en dehors de ses racines et négatif entre ses deux racines.
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond au tableau de signes de f'(x) ?
On note f'(x)=\dfrac{n(x)}{d(x)}.
D'après les deux questions précédentes, on a :
- d(x)>0 lorsque x\neq -1
- n(x)>0 lorsque x<-1-\sqrt{2} et lorsque x>-1+\sqrt{2}
- n(x)<0 lorsque -1-\sqrt{2}<x<-1+\sqrt{2}
Donc le quotient f'(x) prend les signes suivants :
- f'(x)>0 lorsque x<-1-\sqrt{2} et lorsque x>-1+\sqrt{2}
- n(x)<0 lorsque -1-\sqrt{2}<x<-1 et lorsque -1<x<-1+\sqrt{2}
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Quels sont les extrema locaux de f ?
On sait que si un point x\in\mathbb{R} est un extremum local de f, alors f'(x)=0.
Or, les deux seuls points où f'(x)=0 sont x = -1- \sqrt{2} et x=-1+\sqrt{2}.
Ce sont donc les seules valeurs en lesquelles f peut admettre un extremum local.
Il faut maintenant s'assurer que f' change de signe en ces valeurs pour avoir effectivement un extremum local.
On a f'(x)>0 pour x<-1-\sqrt{2} et f'(x)<0 pour x>-1-\sqrt{2} localement.
Donc f\left(-1-\sqrt{2}\right) est bien un extremum local.
De même, on a f'(x)<0 pour x<-1+\sqrt{2} localement, et f'(x)>0 pour x<-1+\sqrt{2}.
Donc f\left(-1-\sqrt{2}\right) est bien aussi un extremum local.
Les extrema locaux de f sont donc f\left(-1-\sqrt{2}\right) et f\left(-1+\sqrt{2}\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond au tableau de variations de f ?
D'après la question précédente, le quotient f'(x) prend les signes suivants :
- f'(x)>0 lorsque x<-1-\sqrt{2} et lorsque x>-1+\sqrt{2}
- f'(x)<0 lorsque -1-\sqrt{2}<x<-1 et lorsque -1<x<-1+\sqrt{2}
On sait que f est strictement croissante sur les intervalles où f'(x)>0, c'est-à-dire sur les intervalles :
\mathopen{]}-\infty ; -1-\sqrt{2} \mathclose{[} et sur \mathopen{]} -1+\sqrt{2} ; +\infty \mathclose{[}
D'autre part, f est strictement décroissante sur les intervalles où f'(x)<0, c'est-à-dire sur les intervalles :
\mathopen{]} -1-\sqrt{2} ; -1 \mathclose{[} et sur \mathopen{]}-1 ; -1+\sqrt{2} \mathclose{[}
On obtient donc le tableau de variations suivant :
