À partir d'une feuille de papier de largeur L et de longueur l , on découpe 4 carrés de largeur x dans chacun des coins pour construire une boîte comme indiqué sur la figure.
Il s'agit de choisir x pour construire la boîte de volume maximal. On précise que x\in\left] 0 ; \dfrac{\min\left(L ; l\right)}{2} \right[.
Quelle est l'expression du volume V de la boîte en fonction de x ?
Il faut calculer chacune des trois dimensions de la boîte pour trouver son volume.
Après avoir découpé les coins, la largeur devient L - 2x et la longueur l - 2x . La hauteur est x .
Or, le volume d'un parallélépipède rectangle est L \times l \times h , donc :
V(x) = (L-2x) (l -2x) x = (Ll - 2Lx - 2lx + 4x^2)x
V(x) =xLl - 2Lx^2 - 2lx^2 + 4x^3
L'expression du volume de la boîte est donc : V(x) = 4x^3 - 2x^2(L+l) + xLl .
Quelle est la dérivée du volume V ?
Il suffit de dériver V terme à terme :
V'(x) = (4x^3)' - (2x^2(L+l))' + (xLl)'
La dérivée du volume V est donc V'(x)= 12x^2 - 4x(L+l) + Ll .
Quelle est l'expression de V' en prenant L = 5 et l = 2 ?
En remplaçant L et l dans V'(x)= 12x^2 - 4x(L+l) + Ll :
V'(x)= 12x^2 - 4x(5+2) + 5 \times 2
Ainsi, V'(x) = 12x^2 - 28x + 10 .
Pour quelles valeurs de x a-t-on V'(x) = 0 ?
Pour trouver les racines d'un polynôme de degré 2, il faut calculer le discriminant \Delta :
\Delta = b^2 - 4ac
Comme le polynôme vaut (P) : 12x^2 - 28x + 10 , le discriminant s'écrit :
\Delta = (28)^2 - 4 \times 12 \times 10
\Delta = 304 = (4 \sqrt{19})^2
Les valeurs en lesquelles le polynôme s'annule sont :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
x_1 = \dfrac{28 - 4 \sqrt{19} }{2 \times 12}
x_1 = \dfrac{28}{24} - \dfrac{ 4 \sqrt{19} }{24}
x_1 = \dfrac{7}{6} - \dfrac{ \sqrt{19} }{6}
et
x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
x_2 = \dfrac{28 + 4 \sqrt{19} }{2 \times 12}
x_2 = \dfrac{28}{24} + \dfrac{ 4 \sqrt{19} }{24}
x_2 = \dfrac{7}{6} + \dfrac{ \sqrt{19} }{6}
Ainsi, S = \left\{ \dfrac{7}{6} - \dfrac{ \sqrt{19} }{6} ; \dfrac{7}{6} + \dfrac{ \sqrt{19} }{6} \right\} .
Quelle valeur de x faut-il choisir pour que le volume de la boîte soit maximal ? Quel est alors le volume de la boîte ?
On considère à partir de cette question que x\in\left] 0 ; 1 \right[.
V' est un polynôme d'ordre 2, il est donc négatif à l'intérieur des racines.
V'(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in \left[ \dfrac{7}{6} - \dfrac{ \sqrt{19} }{6} ; \dfrac{7}{6} + \dfrac{ \sqrt{19} }{6} \right]
Or, on doit avoir x\in\left] 0 ; 1 \right[.
On remarque que \dfrac {7-\sqrt{19}}{6}\in\left] 0 ; 1 \right[ et que \dfrac {7+\sqrt{19}}{6} \gt 1.
Ainsi, V est croissante sur \left] 0 ; \dfrac{7}{6} - \dfrac{ \sqrt{19} }{6} \right] et décroissante sur \left[ \dfrac{7}{6} - \dfrac{ \sqrt{19} }{6} ; 1 \right[ .
Donc x = \dfrac{7}{6} - \dfrac{ \sqrt{19} }{6} est un maximum global et V\left( \dfrac{7}{6} - \dfrac{ \sqrt{19} }{6} \right) = \dfrac{1}{27} (19 \sqrt{19} - 28) .
Le volume maximal de la boîte est donc \dfrac{1}{27} (19 \sqrt{19} - 28) , atteint en x = \dfrac{7}{6} - \dfrac{ \sqrt{19} }{6} .