La modélisation des actions mécaniques par les forces
La modification du mouvement d'un corps, ou sa déformation, est appelée action mécanique. Les actions mécaniques sont modélisées par des forces que l'on représente par des vecteurs et un point d'application. Toute action exercée par un premier corps sur un deuxième corps provoque une action réciproque de la part du deuxième corps : c'est la troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques. Certaines forces sont à connaître : l'interaction gravitationnelle, le poids, la réaction d'un support et la tension d'un fil.
Les actions mécaniques
Les actions mécaniques sont utilisées pour décrire tout phénomène provoquant une modification du mouvement ou une déformation d'un corps.
Action mécanique
Une action mécanique est un concept utilisé pour décrire tout phénomène provoquant une modification du mouvement d'un corps ou une déformation. Elle est exercée par un objet (l'acteur) sur un autre objet (le receveur).
Lorsqu'un footballeur (acteur) frappe le ballon (receveur), une action mécanique est exercée par le pied du joueur sur le ballon.
On distingue :
- Les actions de contact qui ne s'exercent que lors du contact entre l'acteur et le receveur.
- Les actions à distance qui s'exercent même si l'acteur et le receveur ne sont pas en contact.
L'action qu'exerce un footballeur sur un ballon est une action de contact. La Terre attire à tout moment le ballon vers son centre, c'est une action à distance.
Les forces
Les forces modélisent les actions mécaniques exercées par un corps sur un autre. Les forces sont représentées par des vecteurs et un point d'application.
Force
Une force est un vecteur avec un point d'application. Elle modélise une action mécanique.
Les caractéristiques d'une force sont :
- son point d'application (le point à partir duquel elle s'exerce) ;
- sa direction ;
- son sens ;
- sa norme, intensité ou valeur exprimée en newtons (N).
Elle est représentée par un vecteur, appelé vecteur force.
Pour représenter un vecteur force sur un schéma, il faut définir une échelle mettant en relation la valeur en newtons (N) à sa longueur en centimètres (cm).
Un footballeur exerce une force \overrightarrow{F} de valeur 12 \text{N}. Si l'échelle choisie pour représenter les forces est : \text{1{,}0 cm}\Leftrightarrow\text{4{,}0 N}, alors la longueur du vecteur représentant cette force est :
\displaystyle{\dfrac{12}{4{,}0}=}\text{ 3{,}0 cm}
Il ne faut pas confondre le vecteur force (\overrightarrow{F} par exemple) et sa valeur (F) qui n'est qu'une de ses caractéristiques.
Dans l'exemple précédent, la valeur de la force \overrightarrow{F} est F = 12 \text{ N} et la longueur du vecteur la représentant est de 3,0 cm.
On n'écrit surtout pas \overrightarrow{F} = 12\text{ N} ou F = 3{,}0 \text{ cm}.
La 3e loi de Newton : le principe des actions réciproques
La 3e loi de Newton est aussi appelée le principe des actions réciproques. D'après le principe des actions réciproques, tout corps exerçant une force sur un autre corps subit une force d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé.
Si un système A exerce une force \overrightarrow{F_{A/B}} sur un système B, alors le système B exerce une force \overrightarrow{F_{B/A}}. Cette loi est valable pour toutes les forces, qu'elles soient de contact ou non.
Les forces à connaître
Différentes forces sont couramment rencontrées et sont à connaître : l'interaction gravitationnelle, le poids, la réaction normale d'un support et la tension d'un fil.
L'interaction gravitationnelle
On parle d'interaction gravitationnelle lorsque deux corps ponctuels A et B, massiques et distants de d, exercent l'un sur l'autre une force d'attraction. On a : F_G=G\times \dfrac{m_A\times m_B}{d^2}.
Deux corps massiques A et B exercent l'un sur l'autre une interaction gravitationnelle modélisée par les forces \overrightarrow{F_{A/B}} et \overrightarrow{F_{B/A}} dont les caractéristiques sont :
- point d'application : le centre de masse du corps attiré ;
- direction : la direction de la droite passant par les centres de masse des deux corps ;
- sens : du corps attiré vers le corps qui attire ;
- valeur : \ce{F_{A/B}} ou \ce{F_{B/A}}.
La valeur de l'interaction gravitationnelle
La valeur de la force d'attraction gravitationnelle s'exerçant entre deux corps massiques A et B est proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare :
{F_{A/B}\left(N\right)} = {F_{B/A}\left(N\right)} = G\times\dfrac{{m_{A\left(\text{kg}\right)}}\times {m_{B\left(\text{kg}\right)}}}{\left({d_{AB}\left(\text{m}\right)}\right)^{2}}
Avec :
G la constante universelle de la gravitation, G = 6{,}67.10^{-11} \text{ N.m}^{2}.\text{kg}^{-2}.
On cherche à calculer la valeur de la force d'interaction gravitationnelle entre le Soleil et la Terre.
Données :
- masse du Soleil : m_{\text{S}} = 1{,}989\times10^{30} \text{ kg} ;
- masse de la Terre : m_{\text{T}} = 5{,}98\times10^{24} \text{ kg} ;
- distance entre les centres du Soleil et de la Terre : d_{\text{ST}} = 1{,}49\times10^{8} \text{ km}.
F = G\times \dfrac{m_{\text{S}}\times m_{\text{T}}}{\left(d_{\text{ST}}\right)^2} = 6{,}67\times10^{-11} \times \dfrac{1{,}989\times10^{30}\times5{,}98\times10^{24} }{\left(1{,}49\times10^{8}\times10^{3}\right)^2}
F = 3{,}57\times10^{22} \text{ N}
Le poids
Un corps massique, situé dans le voisinage d'un corps céleste, est soumis à son attraction gravitationnelle qu'on appelle le poids. On a : P=m\times g.
Dans la suite du cours, on fait l'hypothèse que le poids d'un corps est uniquement dû à l'interaction gravitationnelle, en négligeant par exemple les effets de la rotation de la Terre.
Un corps massique situé dans le voisinage d'un astre est soumis à son attraction gravitationnelle, modélisée par son poids \vec{P} dont les caractéristiques sont :
- point d'application : le centre de masse du corps attiré ;
- direction : toujours verticale ;
- sens : vers le centre de l'astre ;
- valeur : P.
La valeur du poids
La valeur du poids d'un corps est proportionnelle à sa masse :
P=m_{\left(\text{kg}\right)}\times g_{\left(\text{N.kg}^{-1}\right)}
Avec g l'intensité de la pesanteur (sur Terre : g=9{,}81\text{ N.kg}^{-1}).
La valeur du poids d'une personne de 55 kg (sur Terre) est :
P = m \times g
P = 55 \times 9{,}81
P= 5{,}4\times 10^{2} \text{ N}
Dans l'hypothèse où la seule origine du poids est l'interaction gravitationnelle, alors l'intensité de la pesanteur sur un astre peut être déterminée à partir de l'interaction gravitationnelle. En effet, on a alors égalité entre le poids du corps et l'attraction gravitationnelle que l'astre exerce sur lui :
P=F_{\text{astre/corps}}
m_{\text{corps}} \times g_{\text{astre}} = \text{G} \times \dfrac{m_{\text{corps}}\times m_{\text{astre}}}{d^{2}}
g_{\text{astre}}= G \times \dfrac{m_{\text{astre}}}{d^{2}}
Généralement, le corps est proche de la surface de l'astre, donc on peut considérer que la distance entre le corps et l'astre est égale au rayon de l'astre, soit d=R_{\text{astre}} et on a :
g_{\text{astre}}= G \times \dfrac{m_{\text{astre}}}{{R_{\text{astre}}}^{2}}
L'intensité de pesanteur sur Terre est :
g= G \times \dfrac{m_{\text{T}}}{{R_{\text{T}}}^{2}}
Avec :
- m_{\text{T}}=5{,}98.10^{24} \text{ kg}
- R_{\text{T}}=\text{6 370 }\text{ km}
D'où :
g=6{,}67.10^{-11}\times\dfrac{5{,}98.10^{24}}{\left(\text{6 370}.10^{3} \right)^{2}}\\g=9{,}81\text{ N.kg}^{-1}
La réaction normale d'un support
Un corps massique posé sur un support est soumis à la réaction normale du support.
Un corps massique posé sur un support est soumis à sa réaction normale modélisée par la force \overrightarrow{R_N} dont les caractéristiques sont :
- point d'application : le point de contact entre le corps et le support ;
- direction : toujours perpendiculaire au support ;
- sens : vers le haut ;
- valeur : R_{N} (que seule une étude des forces peut permettre de déterminer).
La tension d'un fil
L'action mécanique exercée par un fil, ou un câble, sur un corps massique accroché à son extrémité est appelée la tension.
Un corps massique relié à un fil, ou à un câble tendu, est soumis à la tension modélisée par la force \overrightarrow{T} dont les caractéristiques sont :
- point d'application : le point d'attache ;
- direction : celle du fil ;
- sens : du corps vers l'extérieur ;
- valeur : T (que seule une étude des forces peut permettre de déterminer).
La 1re loi de Newton : le principe d'inertie
Avant d'étudier le mouvement d'un système, il est nécessaire de définir le point matériel associé au système. La 1re loi de Newton énonce le principe d'inertie et permet de définir la contraposée du principe d'inertie.
Le modèle du point matériel
Un système mécanique qu'il est possible de modéliser par un point et auquel est associée une masse est appelé point matériel. Il s'agit souvent d'un système dont les dimensions sont petites par rapport aux distances caractéristiques du mouvement étudié.
Lorsque les dimensions du système sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié, il est possible de limiter l'étude de son mouvement à celle d'un seul point auquel on associe la masse du système, on parle de point matériel. Le plus souvent, le point choisi est le centre de gravité G du système. L'étude du mouvement est alors simplifiée, les déformations et les mouvements de rotation autour du centre de gravité étant alors négligés.
Lors du mouvement d'un marteau, le point matériel choisi est le centre de gravité. C'est le point qui a le mouvement le plus simple. Le choix de ce point permet de négliger la rotation du marteau autour de son centre de gravité.
Mouvement du centre de gravité d'un marteau
L'énoncé du principe d'inertie
L'inertie est la résistance qu'un corps massique oppose au changement de son mouvement. Le principe d'inertie énonce que lorsqu'un corps massique est soumis à des forces qui se compensent, ou à aucune force, alors le corps massique est soit au repos, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
L'effet de plusieurs forces peut s'annuler, on dit alors qu'elles se compensent. Leur somme vectorielle est égale au vecteur nul \overrightarrow{0}.
Dans le cas de deux forces, il faut qu'elles aient la même direction, la même valeur et des sens opposés.
Un livre est posé sur une table :
Le poids et la réaction normale qu'il subit se compensent : {\overrightarrow{P}}+{\overrightarrow{R_{N}}}=\overrightarrow{0}.
En effet, ces forces ont bien la même direction (verticale), des sens opposés et la même valeur (puisque représentées par des vecteurs de même longueur).
Dans le cas de trois forces, seule une construction vectorielle permet de conclure si elles se compensent ou pas.
Le poids, la réaction normale et les frottements qu'il subit se compensent : {\overrightarrow{P}}+{\overrightarrow{R_{N}}}+{\overrightarrow{f}}=\overrightarrow{0}, comme le montre leur somme vectorielle.
Principe d'inertie
Dans les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique, tout corps soumis à des forces extérieures qui se compensent (ou en l'absence de forces) persévère :
- dans son état de repos, si sa vitesse initiale est nulle ;
- dans son mouvement rectiligne et uniforme si sa vitesse initiale n'est pas nulle.
Dans le référentiel terrestre, ce livre est soumis à des forces qui se compensent {\overrightarrow{P}}+{\overrightarrow{R_{N}}}=\overrightarrow{0}. Sa vitesse initiale étant nulle, il demeurera au repos.
La contraposée du principe de l'inertie
La contraposée du principe d'inertie énonce que si un objet n'est ni au repos ni en mouvement rectiligne et uniforme, alors on peut en déduire que les forces extérieures qui s'exercent sur lui ne se compensent pas.
On peut aussi utiliser la contraposée du principe de l'inertie : dans les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique, si un objet n'est ni au repos ni en mouvement rectiligne et uniforme, alors on peut en déduire que les forces extérieures qui s'exercent sur lui ne se compensent pas.
Dans le référentiel terrestre, un skieur descend une piste selon un mouvement rectiligne et accéléré, on néglige les frottements de l'air :
On en déduit que les forces qu'il subit ne se compensent pas : {\overrightarrow{P}}+{\overrightarrow{R_{N}}}\neq\overrightarrow{0}. C'est ce que montre la construction de leur somme vectorielle :
Le principe d'inertie est aussi vrai dans des référentiels en mouvement rectiligne et uniforme par rapport aux référentiels terrestre, géocentrique ou héliocentrique.
La variation du vecteur vitesse
Pour un corps massique, l'existence de forces extérieures qui ne se compensent pas provoque une variation du vecteur vitesse. Dans le cas de la chute libre à une dimension, le corps massique subit une seule force : son poids.
Généralités sur la variation du vecteur vitesse
La variation du vecteur vitesse instantanée d'un système est due à l'existence d'actions mécaniques extérieures qui ne se compensent pas.
La variation du vecteur vitesse instantanée d'un système est due à l'existence d'actions mécaniques extérieures qui ne se compensent pas.
Ainsi, en un point M_{i}, on définit le vecteur variation de la vitesse instantanée comme la différence entre les vitesses du point précédent et du point suivant {\overrightarrow{\Delta v_{\left( M_{i}\right)}}=\overrightarrow{v_{\left( M_{i+1} \right)}}-\overrightarrow{v_{\left( M_{i-1} \right)}}}. {\overrightarrow{\Delta v_{\left( M_{i}\right)}}} a la même direction et le même sens que la somme des forces extérieures que subit le système.
Lorsque le système n'est pas au repos ou en mouvement rectiligne et uniforme, la variation de son vecteur vitesse est déterminée par les actions mécaniques extérieures qui ne se compensent pas.
Une moto est en mouvement rectiligne accéléré sur une route horizontale. Elle est soumise à trois forces extérieures : son poids, la réaction normale du sol et la force exercée par le moteur.
Ici, le poids et la réaction normale se compensent, la somme des forces extérieures que subit la moto se réduit alors à la force \overrightarrow{F} :
\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R_{N}} + \overrightarrow{F}
\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{0} + \overrightarrow{F}
\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{F}
Au point M_{3}, on représente le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{3}} en construisant la différence des vecteurs vitesse instantanée {\overrightarrow{v_{4}}} et {\overrightarrow{v_{2}}} :
\overrightarrow{\Delta v_{3}} = \overrightarrow{v_{4}}-{\overrightarrow{v_{2}}}
Le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{3}} a donc bien la même direction et le même sens que la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur la moto et qui se réduit à la force \overrightarrow{F} exercée par le moteur.
Le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v} est lié au vecteur accélération : ils ont la même direction et le même sens.
Le cas de la chute libre à une dimension
Dans le cas de la chute libre, le corps massique subit une seule force, son poids. On dit que la chute libre est à une dimension si le vecteur vitesse du corps massique a la même direction que le poids.
Chute libre
Un corps est dit en chute libre si la seule force qu'il subit est son poids.
Une balle lâchée à hauteur des yeux sans vitesse initiale est en chute libre. La balle n'est soumise qu'à son poids.
Dans l'atmosphère terrestre, pour qu'un corps soit considéré en chute libre, il faut que les frottements exercés par l'air soient négligeables, ce qui est le cas pour des mouvements de courte durée, par exemple.
Le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}} d'un corps en chute libre a, en tout point, la même direction et le même sens que le poids du corps \overrightarrow{P}, car c'est la seule force que le corps subit.
Si le corps est lâché avec une vitesse initiale vers le haut, le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}} et la vitesse du corps sont de sens opposés : le mouvement est alors rectiligne et ralenti.
Ainsi, la vitesse du corps diminue et, lorsqu'elle devient nulle, il chute vers le bas sans vitesse initiale. Dans ce cas, le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}} et la vitesse du corps sont de même sens : le mouvement est alors rectiligne et accéléré vers le sol.
