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Les fractions

I

Les fractions

A

L'écriture fractionnaire

Partage d'une quantité

Les nombres a et b sont deux entiers, avec \(\displaystyle{b\neq0}\). La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) (lire "a sur b") représente une portion d'une chose :

  • Le nombre b indique en combien de parts égales on a divisé cette chose.
  • Le nombre a indique combien de ces parts on choisit.

Manon a mangé les \(\displaystyle{\dfrac{\color{Blue}{3}}{\color{Red}{8}}}\) du gâteau. Cela signifie que si on découpe le gâteau en 8 parts égales, Manon en a mangées 3.

  • \(\displaystyle{\dfrac12}\) se lit "un demi".
  • \(\displaystyle{\dfrac13}\) se lit "un tiers".
  • \(\displaystyle{\dfrac14}\) se lit "un quart".
  • \(\displaystyle{\dfrac15}\) se lit "un cinquième".
  • \(\displaystyle{\dfrac16}\) se lit "un sixième".
  • \(\displaystyle{\dfrac17}\) se lit "un septième".
  • etc.

Fraction

Dans la fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) :

  • Le nombre a s'appelle le numérateur.
  • Le nombre b s'appelle le dénominateur.

Dans la fraction \(\displaystyle{\dfrac{23}{17}}\), le nombre 23 est le numérateur et le nombre 17 est le dénominateur.

Le dénominateur b ne peut jamais être égal à 0.

Le calcul \(\displaystyle{\dfrac{4}{0}}\) est impossible.

Ecriture fractionnaire

La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est un nombre égal au quotient de la division de a par b :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} = a \div b}\)

On dit que \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est l'écriture fractionnaire du quotient.

\(\displaystyle{\dfrac{7}{16}=7\div16}\)

Lorsque la division de a par b ne se termine pas (le reste ne vaut jamais 0), la fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) représente la valeur exacte du quotient de cette division.

Dans la division de 5 par 3, le quotient ne possède pas une écriture décimale exacte car le reste 2 se répète indéfiniment. En revanche, on peut exprimer la valeur exacte de ce quotient à l'aide de la fraction \(\displaystyle{\dfrac53}\).

La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est le nombre qui, lorsqu'on le multiplie par b, est égal à a :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} \times b = a}\)

\(\displaystyle{\dfrac37 \times 7 = 3}\)
B

Simplifier des fractions

Lorsqu'on multiplie ou divise à la fois le numérateur et le dénominateur de \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) par un même nombre entier non nul, on obtient une fraction égale à \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}}\)

\(\displaystyle{\dfrac35 = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{12}{20}}\)
Cette propriété n'est pas vraie avec l'addition ou la soustraction :

\(\displaystyle{\dfrac{3 + 4}{5 + 4} \neq \dfrac35}\).

Simplification d'une fraction

Simplifier une fraction signifie passer d'une première fraction à une seconde fraction qui lui est égale et dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits.
Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur de la première fraction par un même nombre entier non nul.

Pour simplifier \(\displaystyle{\dfrac{28}{12}}\), on divise le numérateur et le dénominateur par 4 :

\(\displaystyle{\dfrac{28}{12} = \dfrac{7 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac73}\)

Pour simplifier une fraction, on doit connaître parfaitement les tables de multiplication ainsi que les critères de divisibilité.
C

Comparer des fractions

Pour comparer deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur. Pour cela, on recherche un dénominateur commun aux deux fractions.

On souhaite comparer \(\displaystyle{\dfrac23}\) et \(\displaystyle{\dfrac59}\).

En multipliant le numérateur et le dénominateur de \(\displaystyle{\dfrac23}\) par 3, on remarque qu'on obtient 9 au dénominateur :

\(\displaystyle{\dfrac23 = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac69}\)

Or :

\(\displaystyle{6\gt5}\)

Donc :

\(\displaystyle{\dfrac69 \gt \dfrac59}\)

Et finalement :

\(\displaystyle{\dfrac23 \gt \dfrac59}\)

On peut ranger les fractions sur un axe gradué pour les comparer.

\(\displaystyle{\dfrac{1}{12}\lt\dfrac{1}{4}\lt\dfrac{1}{3}\lt\dfrac{1}{2}\lt\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{5}{6}}\)

-
II

Les opérations sur les fractions

A

L'addition et la soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions ayant le même dénominateur, on conserve le dénominateur et on ajoute les numérateurs :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{15}{17}+\dfrac{7}{17}=\dfrac{15+7}{17}=\dfrac{22}{17}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{25}{31}-\dfrac{5}{31}=\dfrac{25-5}{31}=\dfrac{20}{31}}\)

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant un dénominateur différent, il faut d'abord les réduire au même dénominateur puis appliquer la propriété précédente.

On souhaite additionner \(\displaystyle{\dfrac23}\) et \(\displaystyle{\dfrac59}\) :

\(\displaystyle{\dfrac23 + \dfrac59 =\dfrac{2\times3}{3\times3}+\dfrac{5}{9}= \dfrac69 + \dfrac59 = \dfrac{6+5}{9} = \dfrac{11}{9}}\)

Pour réduire les fractions au même dénominateur (on dit qu'on cherche un dénominateur commun), on cherche si l'un est un multiple de l'autre.

Si on souhaite additionner les fractions \(\displaystyle{\dfrac{14}{25}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{2}{5}}\), on remarque que 25 est un multiple de 5 donc il suffit de multiplier la seconde fraction par 5 car \(\displaystyle{5\times5=25}\).

Ne pas oublier qu'un nombre entier est une fraction dont le dénominateur est égal à 1.

\(\displaystyle{2 + \dfrac35 = \dfrac21 + \dfrac35 = \dfrac{2 \times 5}{1 \times 5} + \dfrac35 = \dfrac{10}{5} + \dfrac35 = \dfrac{13}{5}}\)

Attention à ne pas additionner ou soustraire les dénominateurs.

\(\displaystyle{\dfrac{8}{9}+\dfrac{1}{13}\neq\dfrac{8+1}{9+13}}\)

B

La multiplication de fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}}\)

\(\displaystyle{\dfrac37 \times \dfrac52 = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 2} = \dfrac{15}{14}}\)

Prendre la moitié d'un quart, c'est effectuer le calcul : \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}}\).

Pour multiplier deux fractions, il n'est pas nécessaire qu'elles possèdent le même dénominateur.
Il est souvent préférable de simplifier chacune des fractions avant de les multiplier.

\(\displaystyle{\dfrac{25}{15}\times \dfrac{16}{36}=\dfrac{\color{Blue}{5}\times5}{\color{Blue}{5}\times3}\times\dfrac{\color{Blue}{4}\times4}{\color{Blue}{4}\times9}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{20}{27}}\)

Lors de la multiplication de deux fractions, on multiplie les numérateurs et dénominateurs.

\(\displaystyle{\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times5}{3\times7}=\dfrac{10}{21}}\)

Lors de l'addition de deux fractions, on n'ajoute pas les numérateurs et dénominateurs.

\(\displaystyle{\dfrac{2}{3}+\dfrac57\neq\dfrac{2+5}{3+7}=\dfrac{7}{10}}\)

C

Prendre la fraction d'un nombre

Pour multiplier un nombre \(\displaystyle{k}\) par une fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\), on peut au choix :

  • Multiplier \(\displaystyle{k}\) par le résultat de la division de \(\displaystyle{a}\) par \(\displaystyle{b}\) : \(\displaystyle{k \times \dfrac{a}{b}}\).
  • Multiplier \(\displaystyle{k}\) par \(\displaystyle{a}\) et diviser le résultat par \(\displaystyle{b}\) : \(\displaystyle{\dfrac{k \times a}{b}}\).
  • Diviser \(\displaystyle{k}\) par \(\displaystyle{b}\) et multiplier le résultat par \(\displaystyle{a}\) : \(\displaystyle{\dfrac{k}{b} \times a}\).

On veut multiplier le nombre 10 par la fraction \(\displaystyle{\dfrac{3}{5}}\) :

  • \(\displaystyle{10\times\dfrac{3}{5}=10\times0,6=6}\)
  • \(\displaystyle{10\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{10\times3}{5}=\dfrac{30}{5}=6}\)
  • \(\displaystyle{10\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{10}{5}\times3=2\times3=6}\)
Pour prendre une fraction d'un nombre, on multiplie ce nombre par cette fraction.

La pointure de Théo est 40. Celle d'Emma est égale à sept huitièmes de celle de Théo.
Pour calculer la pointure d'Emma, on calcule donc :

\(\displaystyle{\dfrac{7}{8} \times 40 = 7 \times \dfrac{40}{8} = 7 \times 5 = 35}\)

La pointure d'Emma est ainsi 35.

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