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L'agrandissement et la réduction

I

La droite des milieux dans un triangle

Droite des milieux

Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
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Le point M étant le milieu de [AB] et N celui de [AC], la droite (MN) est donc parallèle à (BC).

Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

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Le point M étant le milieu de [AB] et N celui de [AC], on en déduit que \(\displaystyle{MN = \dfrac12 BC}\).

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

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Le point I étant le milieu de [AB] la droite (IJ) étant parallèle à (BC), on en déduit que J est le milieu de [AC].

II

Les triangles à côtés proportionnels

Triangles à côtés proportionnels

Dans un triangle ABC, si le point M appartient à [AB], le point N à [AC] et si (MN) est parallèle à (BC), les triangles ABC et AMN ont alors des côtés proportionnels. Cela se traduit de trois façons :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AC}{AN} = \dfrac{BC}{MN}}\)

\(\displaystyle{\begin{cases}AM = k AB \cr AN = k AC \cr MN = k BC\end{cases}}\)

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Dans les égalités des rapports des triangles proportionnels, on place soit les petites longueurs aux numérateurs et les grandes longueurs aux dénominateurs, soit l'inverse.
III

L'agrandissement et la réduction

Agrandissement et réduction

Un agrandissement est la multiplication de toutes les longueurs d'une figure par un nombre \(\displaystyle{k \gt 1}\), appelé facteur d'agrandissement.
Une réduction est la multiplication de toutes les longueurs d'une figure par un nombre \(\displaystyle{0 \lt k \lt 1}\), appelé facteur de réduction.

Si l'on passe d'une figure 1 à une figure 2 par un agrandissement de facteur \(\displaystyle{k}\), on passe de la figure 2 à la figure 1 par une réduction de facteur \(\displaystyle{\dfrac{1}{k}}\).

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Les droites (AC) et (DE) étant parallèles :

  • On passe du triangle DBE au triangle ABC par un agrandissement de facteur \(\displaystyle{\dfrac{9}{6} = 1,5}\).
  • On passe du triangle ABC au triangle DBE par une réduction de facteur \(\displaystyle{\dfrac{6}{9} =\dfrac{2}{3}}\).

Lors d'une réduction ou d'un agrandissement, il y a proportionnalité des longueurs et le coefficient de proportionnalité est k (coefficient de réduction ou d'agrandissement).

Le triangle ADC est un agrandissement de AEB de coefficient \(\displaystyle{k=\dfrac74}\). Les longueurs du triangle ADC sont proportionnelles à celles du triangle AEB. Le coefficient de proportionnalité est \(\displaystyle{k=\dfrac74}\).

On a alors :

  • \(\displaystyle{4\times \dfrac74=7}\) cm
  • \(\displaystyle{2\times \dfrac74=3,5}\) cm
  • \(\displaystyle{5\times \dfrac74=8,75}\) cm
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Lors d'une réduction ou d'un agrandissement, il y a conservation du parallélisme et des angles.

Le triangle ADE est un agrandissement du triangle ABC. Les angles \(\displaystyle{\widehat{ABC}}\) et \(\displaystyle{\widehat{ADE}}\) ont la même mesure. Il en est de même pour les angles \(\displaystyle{\widehat{ACB}}\) et \(\displaystyle{\widehat{AED}}\).

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