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Les triangles rectangles

I

Le théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

D'après le théorème de Pythagore, si ABC est un triangle rectangle en C :

\(\displaystyle{AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}}\)

-

Dans le triangle ABC rectangle en C :

\(\displaystyle{AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2}\)

On en déduit que \(\displaystyle{AB = 10}\) cm.

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC, l'égalité \(\displaystyle{BC^2=AB^2+AC^2}\) est vérifiée (avec [BC] le plus grand côté), alors le triangle ABC est rectangle en A et [BC] est l'hypoténuse.

-

D'une part, \(\displaystyle{BC^2=5^2=25}\).

D'autre part \(\displaystyle{AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25}\).

Par conséquent, \(\displaystyle{BC^2=AB^2+AC^2}\).

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.

La propriété réciproque est la propriété de caractérisation d'un triangle rectangle.

Pour déterminer la longueur manquante après avoir utilisé le théorème de Pythagore, on calcule donc la racine carrée de la valeur obtenue :

\(\displaystyle{BC=\sqrt{BC^2}}\)

Racine carrée

La racine carrée \(\displaystyle{\sqrt{a}}\) du nombre positif \(\displaystyle{a}\) est le nombre positif dont le carré est égal à \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{\left( \sqrt{a} \right)^2 = a}\)

Si \(\displaystyle{a}\) est un nombre positif tel que \(\displaystyle{a^2 = 81}\), alors \(\displaystyle{a = \sqrt{81} = 9}\).
II

Le cercle circonscrit au triangle rectangle

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse et pour diamètre l'hypoténuse.
-
Réciproquement, si l'un des côtés d'un triangle est le diamètre d'un cercle et que son troisième sommet est sur ce même cercle, alors le triangle est rectangle.
-

Propriété de caractérisation d'un cercle

Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que AMB est rectangle en M.

-

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors la longueur de sa médiane issue du sommet A est égale à la moitié de son hypoténuse.

-

Réciproquement, si la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A.

III

Le cosinus d'un angle aigu

Cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu \(\displaystyle{\alpha}\), noté \(\displaystyle{\cos\left(\alpha\right)}\), est égal à :

\(\displaystyle{\cos\left(\alpha\right) =\dfrac{\color{Blue}{\text{côté adjacent}}}{\color{Red}{\text{hypoténuse}}}}\)

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

\(\displaystyle{\cos\left( \widehat{ABC} \right) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{\cos\left( \widehat{ACB} \right) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}}\)

Si l'on connaît le cosinus d'un angle aigu, on peut retrouver la mesure de l'angle à l'aide de la touche "Arccos" ou "cos−1" de la calculatrice. Il faut bien vérifier au préalable que la calculatrice est paramétrée en degrés.

Si \(\displaystyle{\cos\left(\widehat{A}\right)=0,256}\) alors \(\displaystyle{\widehat{A}=arcos\left(0,256\right)\approx75°}\).

Le cosinus est toujours un nombre plus petit que 1.

\(\displaystyle{arccos\left(5\right)}\) n'existe pas.

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