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Dernière modification : 22/04/2026 - Conforme au programme 2025-2026
Un produit de facteur est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. Autrement dit, pour tous A et B réels :
A \times B = 0 \text{ si et seulement si } A= 0 \text{ ou } B = 0
On peut résoudre certaines équations produits qui ne sont pas du premier degré.
On veut résoudre l'équation (4x - 4)\times(x -7) =0. On applique la propriété précédente et on obtient :
(4x - 4)\times(x -7) =0 si et seulement si 4x - 4 =0 ou x -7 = 0
Ainsi, résoudre l'équation du second degré (4x - 4)\times(x -7) =0 revient à résoudre deux équations du premier degré, qui sont :
- 4x - 4
- x - 7
Pour la première équation, on obtient : x = 1.
Pour la seconde équation, on obtient : x = 7.
Ainsi, les solutions de (4x - 4)\times(x -7) =0 sont x=1 et x=7. L'équation admet deux solutions.
On peut utiliser une identité remarquable pour résoudre une équation sous forme factorisée.
On souhaite résoudre l'équation x^2 - 49 = 0, pour x \in \mathbb{R}.
On remarque que 49 = 7^2, on a donc :
x^2 - 7^2 = (x-7)(x+7)
On utilise l'identité remarquable a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) pour a = x et b=7.
Ainsi, l'équation x^2 - 49 = 0 se réécrit (x-7)(x+7) = 0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Donc x + 7= 0, ou bien x - 7 = 0.
Les solutions de l'équation x^2 - 49 = 0 sont donc x = 7 et x=-7. L'ensemble des solutions est :
S = \{ -7, 7 \}