Soient A et B deux événements tels que P\left(A\right)\neq 0. Que vaut P_A\left(B\right) ?

P_{A}\left(B\right) =\dfrac{P\left(A \cap B\right)}{P\left(B\right)}

P_{A}\left(B\right) =\dfrac{P\left(A \cap B\right)}{P\left(A\right)}

P_{A}\left(B\right) =\dfrac{P\left(A \cup B\right)}{P\left(A\right)}

P_{A}\left(B\right) =\dfrac{P\left(A \cup B\right)}{P\left(B\right)}

À quelle condition deux événements A et B sont-ils indépendants ?

Si et seulement si P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right).

Si et seulement si P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+ P\left(B\right).

Si et seulement si P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right).

Si et seulement si P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+ P\left(B\right).

Les événements A et \overline{A} forment une partition de l'univers. Soit E un événement quelconque. Que vaut P\left(E\right) en fonction de p\left(E\cap A\right), p\left(E\cap \overline{A}\right), p\left(E\cup A\right) et p\left(E\cup \overline{A}\right) ?

P\left(E\right)=P\left(E\cup A\right)\times P\left(E\cup \overline{A}\right)

P\left(E\right)=P\left(E\cup A\right)+P\left(E\cup \overline{A}\right)

P\left(E\right)=P\left(E\cap A\right)\times P\left(E\cap \overline{A}\right)

P\left(E\right)=P\left(E\cap A\right)+P\left(E\cap \overline{A}\right)

Qu'appelle-t-on variable aléatoire réelle ?

C'est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.

C'est une fonction qui associe un événement de l'univers à chaque réel d'une expérience aléatoire.

C'est une fonction qui donne les probabilités de chaque événement d'une expérience aléatoire.

Que signifie donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire X ?

Faire un tableau récapitulatif des événements.

Donner toutes les valeurs k prises par X.

Donner pour toutes les valeurs k prises par X la probabilité des événements \{X=k\}.

Donner pour toutes les valeurs k prises par X la probabilité de l'événement k.

Soit x_1, x_2, \dots, x_n l'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X.

Que vaut P\left(X = x_{1}\right) + P\left(X = x_{2}\right) +... + P\left(X = x_{n}\right) ?

0,5

0,75

Soit x_1, x_2, \dots, x_n l'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X.

Quelle formule donne l'espérance de la variable aléatoire X ?

E\left(X\right) =\sum _{i=10}^{n}x_{i} P\left(X = x_{i}\right)

E\left(X\right) =x_i\sum _{i=0}^{n} P\left(X = x_{i}\right)

E\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}x_{i} P\left(X = x_{i}\right)

E\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}X P\left(X = x_{i}\right)

Soient x_1, x_2, \dots, x_n l'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X.

Quelle formule donne la variance de la variable aléatoire X ?

V\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}\left[x_{i} - E\left(X\right)\right] P\left(X = x_{i}\right)^2

V\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}\left[x_{i} - E\left(X\right)\right]^{2} P\left(X = x_{i}\right)

V\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}\left[x_{i} + E\left(X\right)\right]^{2} P\left(X = x_{i}\right)

V\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}\left[x_{i} - X\right]^{2} P\left(X = x_{i}\right)

Soit X une variable aléatoire et soient a et b des réels quelconques.

Comment peut-on calculer autrement E\left(aX+b\right) ?

E\left(aX+b\right)=aE\left(x\right)+b

E\left(aX+b\right)=E\left(X\right)

E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)

E\left(aX+b\right)=E\left(X\right)+b

Combien d'issues possède une épreuve de Bernoulli ?

Au minimum deux issues

Au maximum deux issues

Deux issues

Trois issues

Quelles valeurs prend une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli ?

Elle prend deux valeurs.

−1 ou 1

1 ou 2

0 ou 1

Que vaut l'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre p ?

Elle est égale à p.

Elle est égale à np.

Elle est égale à p^2.

Elle est égale à p\left(1-p\right).

En quoi consiste un schéma de Bernoulli ?

Cela consiste à répéter n fois la même épreuve de Bernoulli.

Cela consiste à répéter n fois la même expérience aléatoire.

Cela consiste à réaliser un arbre pondéré.

Cela consiste à reproduire une expérience à trois issues.

Si une variable aléatoire compte le nombre de succès (de probabilité p) dans un schéma de Bernoulli (de n répétitions), quelle loi suit-elle ?

Elle suit une loi binomiale de paramètre p.

Elle suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Elle suit une loi de Bernoulli de paramètre p.

Elle suit une loi de Bernoulli de paramètres n et p.

Si une variable aléatoire X suit une loi B\left(n;p\right), que vaut pour un entier naturel k\in\{0;1;\dots;n\} la probabilité P\left(X = k\right) ?

Pour un entier naturel k\in\{0;1;\dots;n\}, P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{n-k} \left(1 - p\right)^{k}

Pour un entier naturel k\in\{0;1;\dots;n\}, P\left(X = k\right) =\binom{k}{n}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k}

Pour un entier naturel k\in\{0;1;\dots;n\}, P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k}

Pour un entier naturel k\in\{0;1;\dots;n\}, P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{k-n}

Que vaut l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) ?

E\left(X\right)=np

E\left(X\right)=n\left(1-p\right)

E\left(X\right)=1-p

E\left(X\right)=p

Que vaut la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) ?

V\left(X\right)=np

V\left(X\right)=p\left(1-p\right)

V\left(X\right)=n\left(1-p\right)

V\left(X\right)=np\left(1-p\right)

Quelles sont les trois caractéristiques d'une densité de probabilité f sur \left[a;b\right] ?

f est continue sur \left[a;b\right], f est positive sur \left[a;b\right] et \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1.

f est continue sur \left[a;b\right], f est négative sur \left[a;b\right] et \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1.

f est continue sur \left[a;b\right], f est dérivable sur \left[a;b\right] et \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1.

f est continue sur \left[a;b\right], f est positive sur \left[a;b\right] et \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=0.

Si f est une densité de probabilité d'une variable aléatoire X, que vaut P\left(a\leq X \leq b\right) ?

P\left(a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} F\left(x\right) \ \mathrm dx

P\left(a\leq X \leq b\right)=-\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

P\left(a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

P\left(a\leq X \leq b\right)=\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Si X est une variable à densité, que vaut P\left(X=a\right) ?

P\left(X=a\right)=1

P\left(X=a\right)=0{,}5

P\left(X=a\right)=0{,}25

P\left(X=a\right)=0

Quelle est la densité f d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right] ?

f\left(x\right)=b-a

f\left(x\right)=b+a

f\left(x\right)=\dfrac{1}{b-a}

f\left(x\right)=\dfrac{1}{b+a}

Que vaut P\left(c\leq X \leq d\right) si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right], avec a\leq c \leq d \leq b ?

P\left(c\leq X \leq d\right)=\dfrac{d-c}{b-a}

P\left(c\leq X \leq d\right)=\dfrac{b-a}{d-c}

P\left(c\leq X \leq d\right)=\dfrac{1}{b-a}

P\left(c\leq X \leq d\right)=\dfrac{1}{d-c}

Que vaut l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right] ?

E\left(X\right)=\dfrac{a-b}{2}

E\left(X\right)=\dfrac{a+b}{2}

E\left(X\right)=a-b

E\left(X\right)=a+b

Quelle est la densité f d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0 ?

f\left(x\right)=-\lambda e^{\lambda x} sur \left[0;+\infty\right[

f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} sur \left[0;+\infty\right[

f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} sur \mathbb{R}

f\left(x\right)=\lambda e^{- x} sur \mathbb{R}

Soit a\in\mathbb{R}_+. Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0, que vaut P\left(X\leq a\right) ?

P\left(X\leq a\right)=1-e^{-\lambda a}

P\left(X\leq a\right)=1-e^{\lambda a}

P\left(X\leq a\right)=e^{-\lambda a}-1

P\left(X\leq a\right)=e^{-\lambda a}

Soit a\in\mathbb{R}_+.Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0, que vaut P\left(X\geq a\right) ?

P\left(X\geq a\right)=1-e^{-\lambda a}

P\left(X\geq a\right)=1-e^{\lambda a}

P\left(X\geq a\right)=e^{-\lambda a}-1

P\left(X\geq a\right)=e^{-\lambda a}

Soit X une variable suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda \gt 0.

Que vaut la demi-vie \tau de la variable aléatoire X, c'est-à-dire le réel \tau \gt 0 tel que \int_{0}^{\tau}\lambda e^{-\lambda x}\mathrm d x=\dfrac{1}{2} ?

\tau=\dfrac{\ln\left(2\right)}{\lambda}

\tau=\dfrac{1}{\lambda}

\tau=\ln\left(2\right)

\tau=\lambda

Soient t et h deux réels positifs. Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0, que vaut P_{\left(X\geq h\right)}\left(X\geq t+h\right) ?

P_{\left(X\geq h\right)}\left(X\geq t+h\right)=P\left(X\geq t\right)

P_{\left(X\geq h\right)}\left(X\geq t+h\right)=P\left(X\geq h\right)

P_{\left(X\geq h\right)}\left(X\geq t+h\right)=P\left(X\geq t-h\right)

P_{\left(X\geq h\right)}\left(X\geq t+h\right)=P\left(X\geq t+h\right)

Quelle est la densité f d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite ?

f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{\pi }} e^{-\frac{x}{2}} sur \mathbb{R}

f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}} sur \mathbb{R}

f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{\frac{-x^2}{2}} sur \left[0;+\infty\right[

f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x}{2}} sur \left[0;+\infty\right[

Que valent l'espérance et la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite ?

E\left(X\right)=0 et V\left(X\right)=0

E\left(X\right)=1 et V\left(X\right)=1

E\left(X\right)=0 et V\left(X\right)=1

E\left(X\right)=1 et V\left(X\right)=0

Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), quelle variable associée suit la loi normale centrée réduite ?

La variable Y=\dfrac{X-m}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.

La variable Y=\dfrac{X+m}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.

La variable Y=\dfrac{X-\sigma}{m} suit la loi normale centrée réduite.

La variable Y=\dfrac{X+\sigma}{m} suit la loi normale centrée réduite.

Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), que valent E\left(X\right) et V\left(X\right) ?

E\left(X\right)=m^2 et V\left(X\right)=\sigma^2

E\left(X\right)=m et V\left(X\right)=\sigma

E\left(X\right)=m et V\left(X\right)=\sigma^2

E\left(X\right)=\sigma et V\left(X\right)=m

Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), que vaut P\left(m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma\right) ?

P\left(m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma\right)\approx 0{,}45

P\left(m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma\right)\approx 0{,}68

P\left(m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma\right)\approx 0{,}95

P\left(m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma\right)\approx 0{,}997

Si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p, quelles conditions doivent vérifier n et p pour pouvoir donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de succès ?

Il faut que n \geq 30 \text{ , } np \geq 5 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 5.

Il faut que n \geq 0 \text{ , } np \geq 5 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 5.

Il faut que n \leq 30 \text{ , } np \geq 5 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 5.

Il faut que n \geq 30 \text{ , } np \geq 0 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 0.

Quel est l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence de succès si X suit une loi binomiale de paramètres n et p qui est donnée dans le cours ?

\left[ p - 0{,}95 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} ; p + 0{,}95 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} \right]

\left[ p - 1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} ; p + 1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} \right]

\left[ p - 1{,}96 \dfrac{\sqrt{n\left(1-p\right)}}{\sqrt{p}} ; p + 1{,}96 \dfrac{\sqrt{n\left(1-p\right)}}{\sqrt{p}} \right]

\left[ p + 1{,}96 \dfrac{\sqrt{n\left(1-p\right)}}{\sqrt{p}} ; p - 1{,}96 \dfrac{\sqrt{n\left(1-p\right)}}{\sqrt{p}} \right]

Si n est le nombre d'expériences et f_n la fréquence de succès d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right), quel est l'intervalle de confiance à 95% pour l'estimation de p donné dans le cours ?

\left[ f_n - \dfrac{1}{\sqrt{1-n}} ; f_n + \dfrac{1}{\sqrt{1-n}} \right]

\left[ f_n + \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]

\left[ n - \dfrac{1}{\sqrt{f_n}} ; n+ \dfrac{1}{\sqrt{f_n}} \right]

\left[ f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]

Soit X une variable aléatoire suivant la loi B\left(n;p\right).

Si n est très grand, par quelle loi peut-on approximer la loi de la variable aléatoire \dfrac{X-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}} ?

Une loi exponentielle

Une loi uniforme

La loi normale centrée réduite

Une loi normale quelconque