Soient A et B deux événements tels que P\left(A\right)\neq 0. Que vaut P_A\left(B\right) ?
P_{A}\left(B\right) =\dfrac{P\left(A \cap B\right)}{P\left(A\right)}
À quelle condition deux événements A et B sont-ils indépendants ?
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right).
Les événements A et \overline{A} forment une partition de l'univers. Soit E un événement quelconque. Que vaut P\left(E\right) en fonction de p\left(E\cap A\right), p\left(E\cap \overline{A}\right), p\left(E\cup A\right) et p\left(E\cup \overline{A}\right) ?
Si A et \overline{A} forment une partition de l'univers, alors pour tout événement E, P\left(E\right)=P\left(E\cap A\right)+P\left(E\cap \overline{A}\right).
Qu'appelle-t-on variable aléatoire réelle ?
Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.
Que signifie donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire X ?
Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire veut dire : donner pour toutes les valeurs k prises par X la probabilité des événements \{X=k\}.
Soit x_1, x_2, \dots, x_n l'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X.
Que vaut P\left(X = x_{1}\right) + P\left(X = x_{2}\right) +... + P\left(X = x_{n}\right) ?
P\left(X = x_{1}\right) + P\left(X = x_{2}\right) +... + P\left(X = x_{n}\right) = 1
Soit x_1, x_2, \dots, x_n l'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X.
Quelle formule donne l'espérance de la variable aléatoire X ?
L'espérance de la variable aléatoire X est le réel : E\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}x_{i} P\left(X = x_{i}\right).
Soient x_1, x_2, \dots, x_n l'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X.
Quelle formule donne la variance de la variable aléatoire X ?
La variance de la variable aléatoire X est le réel : V\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}\left[x_{i} - E\left(X\right)\right]^{2} P\left(X = x_{i}\right).
Soit X une variable aléatoire et soient a et b des réels quelconques.
Comment peut-on calculer autrement E\left(aX+b\right) ?
L'espérance étant linéaire, on a E\left(aX+b\right)=aE\left(x\right)+b.
Combien d'issues possède une épreuve de Bernoulli ?
Une épreuve de Bernoulli possède deux issues.
Quelles valeurs prend une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli ?
Une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli prend les valeurs 0 ou 1.
Que vaut l'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre p ?
L'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre p est égale à p.
En quoi consiste un schéma de Bernoulli ?
Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter n fois la même épreuve de Bernoulli.
Si une variable aléatoire compte le nombre de succès (de probabilité p) dans un schéma de Bernoulli (de n répétitions), quelle loi suit-elle ?
Si une variable aléatoire compte le nombre de succès (de probabilité p) dans un schéma de Bernoulli (de n répétitions), alors elle suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Si une variable aléatoire X suit une loi B\left(n;p\right), que vaut pour un entier naturel k\in\{0;1;\dots;n\} la probabilité P\left(X = k\right) ?
Si une variable aléatoire X suit une loi B\left(n;p\right), alors pour un entier naturel k\in\{0;1;\dots;n\}, P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k}.
Que vaut l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) ?
L'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) est égale à E\left(X\right)=np.
Que vaut la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) ?
La variance d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) est égale à V\left(X\right)=np\left(1-p\right).
Quelles sont les trois caractéristiques d'une densité de probabilité f sur \left[a;b\right] ?
Si f est une densité de probabilité sur \left[a;b\right], alors f est continue sur \left[a;b\right], f est positive sur \left[a;b\right] et \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1.
Si f est une densité de probabilité d'une variable aléatoire X, que vaut P\left(a\leq X \leq b\right) ?
Si X a une densité de probabilité f, alors P\left(a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
Si X est une variable à densité, que vaut P\left(X=a\right) ?
Si X est une variable à densité, alors P\left(X=a\right)=0.
Quelle est la densité f d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right] ?
La densité d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right] est la fonction f définie sur \left[a;b\right] par : f\left(x\right)=\dfrac{1}{b-a}.
Que vaut P\left(c\leq X \leq d\right) si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right], avec a\leq c \leq d \leq b ?
Si a\leq c \leq d \leq b et X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right], alors P\left(c\leq X \leq d\right)=\dfrac{d-c}{b-a}.
Que vaut l'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right] ?
L'espérance d'une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur \left[a;b\right] est E\left(X\right)=\dfrac{a+b}{2}.
Quelle est la densité f d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0 ?
Une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0 a pour densité la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[ par : f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}.
Soit a\in\mathbb{R}_+. Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0, que vaut P\left(X\leq a\right) ?
Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0 alors P\left(X\leq a\right)=1-e^{-\lambda a}, pour tout réel a\geq 0.
Soit a\in\mathbb{R}_+.Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0, que vaut P\left(X\geq a\right) ?
Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0 alors P\left(X\geq a\right)=e^{-\lambda a}, pour tout réel a\geq 0.
Soit X une variable suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda \gt 0.
Que vaut la demi-vie \tau de la variable aléatoire X, c'est-à-dire le réel \tau \gt 0 tel que \int_{0}^{\tau}\lambda e^{-\lambda x}\mathrm d x=\dfrac{1}{2} ?
La demi-vie \tau d'une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda \gt 0 est : \tau=\dfrac{\ln\left(2\right)}{\lambda}.
Soient t et h deux réels positifs. Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0, que vaut P_{\left(X\geq h\right)}\left(X\geq t+h\right) ?
Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda \gt0 alors P_{\left(X\geq h\right)}\left(X\geq t+h\right)=P\left(X\geq t\right), lorsque t et h sont deux réels positifs quelconques.
Quelle est la densité f d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite ?
La densité de probabilité d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite est la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}.
Que valent l'espérance et la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite ?
Si X est une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite alors E\left(X\right)=0 et V\left(X\right)=1.
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), quelle variable associée suit la loi normale centrée réduite ?
Si X suit la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), alors la variable Y=\dfrac{X-m}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), que valent E\left(X\right) et V\left(X\right) ?
Si X suit la loi normale N\left(m;\sigma^2\right) alors E\left(X\right)=m et V\left(X\right)=\sigma^2.
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), que vaut P\left(m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma\right) ?
Si X suit la loi normale N\left(m;\sigma^2\right), alors P\left(m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma\right)\approx 0{,}95.
Si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p, quelles conditions doivent vérifier n et p pour pouvoir donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de succès ?
Afin de pouvoir donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de succès, on considère qu'il faut que n \geq 30 \text{ , } np \geq 5 \text{ , } n\left(1-p\right) \geq 5.
Quel est l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence de succès si X suit une loi binomiale de paramètres n et p qui est donnée dans le cours ?
Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence de succès donnée dans le cours est : \left[ p - 1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} ; p + 1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}} \right].
Si n est le nombre d'expériences et f_n la fréquence de succès d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right), quel est l'intervalle de confiance à 95% pour l'estimation de p donné dans le cours ?
Si n est le nombre d'expériences et f_n la fréquence de succès d'une variable aléatoire X suivant la loi B\left(n;p\right) , alors l'intervalle de confiance à 95% pour l'estimation de p donné dans le cours est : \left[ f_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right].
Soit X une variable aléatoire suivant la loi B\left(n;p\right).
Si n est très grand, par quelle loi peut-on approximer la loi de la variable aléatoire \dfrac{X-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}} ?
Si n est très grand, on peut approximer la loi de la variable aléatoire \dfrac{X-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}} par la loi normale centrée réduite.