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Les fractions

I

Ecriture fractionnaire d'un nombre

Fraction d'une quantité

Les nombres a et b sont des entiers, avec \(\displaystyle{b\neq0}\). La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) (lire "a sur b") représente une portion d'une chose :

  • Le nombre b indique en combien de parts égales on a divisé cette chose.
  • Le nombre a indique combien de ces parts on choisit.

Manon a mangé les \(\displaystyle{\dfrac{3}{4}}\) du gâteau. Cela signifie que si on découpe le gâteau en 4 parts égales, Manon en a mangées 3.

  • \(\displaystyle{\dfrac12}\) se lit "un demi"
  • \(\displaystyle{\dfrac13}\) se lit "un tiers"
  • \(\displaystyle{\dfrac14}\) se lit "un quart"
  • \(\displaystyle{\dfrac15}\) se lit "un cinquième"
  • \(\displaystyle{\dfrac16}\) se lit "un sixième"
  • \(\displaystyle{\dfrac17}\) se lit "un septième"
  • ...

Fraction

Dans la fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) :

  • Le nombre a s'appelle le numérateur
  • Le nombre b s'appelle le dénominateur

Dans la fraction \(\displaystyle{\dfrac{3}{7}}\) le nombre 3 est le numérateur et le nombre 7 est le dénominateur.

Le dénominateur b ne peut jamais être égal à 0.

La fraction \(\displaystyle{\dfrac{51}{0}}\) n'existe pas car la division par 0 est impossible.

Ecriture fractionnaire

La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est un nombre égal au quotient de la division de a par b :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} = a \div b}\)

On dit que \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est l'écriture fractionnaire du quotient.

Le quotient \(\displaystyle{75\div14}\) a pour écriture fractionnaire \(\displaystyle{\dfrac{75}{14}}\).

Lorsque la division de a par b ne se termine pas (le reste ne vaut jamais 0), la fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) représente la valeur exacte du quotient de cette division.

Dans la division de 5 par 3, le quotient ne possède pas une écriture décimale exacte car le reste 2 se répète indéfiniment. En revanche, on peut exprimer la valeur exacte de ce quotient à l'aide de la fraction \(\displaystyle{\dfrac53}\).

La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est le nombre qui, lorsqu'on le multiplie par \(\displaystyle{b}\), est égal à \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} \times b = a}\)

\(\displaystyle{\dfrac37 \times 7 = 3}\)
II

Simplifier une fraction

Lorsqu'on multiplie ou divise à la fois le numérateur et le dénominateur de \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) par un même nombre entier non nul, on obtient une fraction égale à \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}}\)

\(\displaystyle{\dfrac35 = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{12}{20}}\)
Cette propriété n'est pas vraie avec l'addition ou la soustraction : \(\displaystyle{\dfrac{3 + 4}{5 + 4} \neq \dfrac35}\).

Simplification d'une fraction

Simplifier une fraction signifie passer d'une première fraction à une seconde fraction qui lui est égale et dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits.
Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur de la première fraction par un même nombre entier non nul.

\(\displaystyle{\dfrac{45}{25}=\dfrac{45\div5}{25\div5}=\dfrac{9}{5}}\)

Ici on divise le numérateur et le dénominateur de la fraction \(\displaystyle{\dfrac{45}{25}}\) par le même nombre entier 5 et on obtient une fraction simplifiée \(\displaystyle{\dfrac{9}{5}}\).

Pour simplifier une fraction, on doit connaître parfaitement les tables de multiplication ainsi que les critères de divisibilité.
III

Prendre la fraction d'un nombre

Pour multiplier un nombre k par une fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\), on peut au choix :

  • Multiplier k par le résultat de la division de a par b : \(\displaystyle{k \times \dfrac{a}{b}}\).
  • Multiplier k par a et diviser le résultat par b : \(\displaystyle{\dfrac{k \times a}{b}}\).
  • Diviser k par b et multiplier le résultat par a : \(\displaystyle{\dfrac{k}{b} \times a}\).

Pour multiplier le nombre 35 par \(\displaystyle{\dfrac{2}{5}}\) on peut effectuer le calcul des trois façons suivantes :

  • \(\displaystyle{35\times\dfrac{2}{5}=35\times0,4=14}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{35\times2}{5}=\dfrac{70}{5}=14}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{35}{5}\times2=7\times2=14}\)

La pointure de Théo est 40. Celle d'Emma est égale à sept huitième de celle de Théo.
Pour calculer la pointure d'Emma, on calcule donc :

\(\displaystyle{\dfrac{7}{8} \times 40 = 7 \times \dfrac{40}{8} = 7 \times 5 = 35}\)

La pointure d'Emma est ainsi 35.

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