Cinquième 2015-2016

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Calculs numériques

I

La priorité dans un calcul

A

L'omission du signe de multiplication

Il n'est pas nécessaire de marquer un signe de multiplication avant une parenthèse. Il est alors sous-entendu.

\(\displaystyle{5 \left(7 + 2a\right) = 5 \times \left(7 + 2 \times a\right)}\)

En revanche, le signe de multiplication reste obligatoire entre deux valeurs numériques : \(\displaystyle{4,5 \times 2}\) ne peut pas s'écrire 4,52.

Beaucoup de calculs vont faire intervenir des lettres (a, b, c, x, y, etc.) désignant des nombres.

\(\displaystyle{24 + a − 16 +4a = 5a + 8}\)

Dans un produit comportant une valeur numérique et des lettres, on place la valeur numérique devant les lettres.

A la place de a4c, on écrit plutôt 4ac.

Carré d'un nombre

Lorsqu'on multiplie un nombre par lui-même, on le met sous la forme d'un carré, c'est-à-dire d'une puissance de 2 :

\(\displaystyle{a \times a = a^2}\)

\(\displaystyle{7\times7=7^2}\)

B

Les parenthèses

Les parenthèses servent à indiquer qu'un calcul est prioritaire : il doit donc être effectué en premier.
\(\displaystyle{3 \underbrace{\left(2 + 4\right)}_{6} = 3 \times 6 = 18}\)

En l'absence de parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions.

\(\displaystyle{\underbrace{3 \times 2}_{6} + 4 = 6 + 4 = 10}\)

Même si la multiplication ou la division se trouve après une addition ou soustraction, on doit la effectuer en priorité s'il n'y a pas de parenthèses.

\(\displaystyle{12 - \underbrace{3 \times 3}_{9} = 12 - 9 = 3}\)
Dans une séquence de calculs, il faut revenir à la ligne à chaque étape et rappeler, en début de ligne, le nom de l'expression calculée.
\(\displaystyle{A = 4 \left(23 - 6 \times 3\right)}\)

\(\displaystyle{A = 4 \left(23 - 18\right)}\)

\(\displaystyle{A = 4 \times 5}\)

\(\displaystyle{A = 20}\)

II

La distributivité

A

Développer une expression

La multiplication est distributive par rapport à l'addition :

\(\displaystyle{a \times \left(b+c\right) = a \times b + a \times c}\)

\(\displaystyle{15\times11=15\times\left(10+1\right)=15\times10+15\times1=150+15=165}\)

La multiplication est également distributive par rapport à la soustraction :

\(\displaystyle{a \times \left(b-c\right) = a \times b - a \times c}\)

\(\displaystyle{56\times99=56\times\left(100-1\right)=56\times100-56\times1=5\ 600-56=5\ 544}\)

Développement

Développer une expression signifie passer d'un produit à une somme de produits :

\(\displaystyle{a \times \left(b+c\right) \xrightarrow{\text{développement}} a \times b + a \times c}\)

\(\displaystyle{B = 5\left(\color{Red}{2}+\color{Blue}{6}\right) = 5\times\color{Red}{2}+5\times\color{Blue}{6}}\)

B

Factoriser une expression

Factorisation

Factoriser une expression signifie passer d'une somme de produits à un produit :

\(\displaystyle{a \times b + a \times c \xrightarrow{\text{factorisation}} a \times \left(b+c\right)}\)

\(\displaystyle{48 + 18 = 6\times8+6\times3=6\times\left(8+3\right)=6\times11=66}\)