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Dernière modification : 17/09/2025 - Conforme au programme 2025-2026
Représenter des nombres inconnus
En mathématiques, on peut être amené à raisonner sur des nombres sans connaître leur valeur. On peut alors désigner ces nombres par des symboles ou par des lettres.
Pour désigner un nombre inconnu, on peut utiliser un point d'interrogation ou trois petits points, notamment pour trouver un nombre manquant dans une égalité à trou.
On peut chercher à compléter l'égalité à trou écrite de la manière suivante :
24 \times 5 = … \times 10
On peut également écrire cette égalité à trou ainsi :
24 \times 5 = \text{ ?} \times 10
Les trois petits points ou le point d'interrogation désignent le nombre à déterminer.
Pour résoudre un problème faisant intervenir des objets concrets, on peut utiliser des symboles sous forme de petits dessins représentant ces objets afin de désigner les nombres dont on ne connaît pas la valeur.
On dispose de paires de ciseaux toutes identiques et de crayons tous identiques :
- La masse de trois paires de ciseaux et deux crayons est de 460 g.
- La masse de deux paires de ciseaux est de 240 g.
Quelle est la masse d'une paire de ciseaux ? Quelle est la masse d'un crayon ?
On peut schématiser de la manière suivante :
Ici, le symbole « paire de ciseaux » représente le nombre « masse d'une paire de ciseaux » et le symbole « crayon » représente le nombre « masse d'une paire de ciseaux ».
L'énoncé peut-être directement donné avec un schéma et des symboles.
En utilisant les prix indiqués ci-dessous, déterminer le prix d'une pastèque et celui d'un ananas sachant que tous les ananas ont le même prix et que toutes les pastèques ont le même prix.
Ici, le symbole « ananas » représente le nombre « prix d'un ananas » et le symbole « pastèque » représente le nombre « prix d'une pastèque ».
On peut également désigner un nombre inconnu par une lettre.
Voici un énoncé de problème dans lequel le nombre inconnu est désigné par la lettre N.
Rose a choisi un nombre noté N et a effectué le calcul suivant : 3 \times (2 + N).
Elle a trouvé 27.
Quel est le nombre N qu'elle a choisi ?
On peut également utiliser une lettre pour désigner un nombre manquant dans une égalité à trou.
Par exemple, on cherche la valeur du nombre x dans l'égalité :
10+x=15-3
Résoudre des problèmes avec des nombres inconnus grâce à un schéma en barres
Le schéma en barres
Schéma en barres
Un schéma en barres permet de visualiser les relations entre plusieurs valeurs (connues et inconnues).
Il est composé de plusieurs rectangles dans lesquels on fait figurer les valeurs connues ainsi que les valeurs inconnues que l'on représente à l'aide de symboles ou de lettres.
Un schéma en barres peut comporter une seule ligne de rectangles.
Il peut également en comporter deux, voire plus si besoin.
Un schéma en barres peut comporter une, deux ou plus de lignes.
Un schéma en barres à une ligne
Un schéma en barres à deux lignes
Dans un schéma en barres, les longueurs des rectangles n'ont pas à être proportionnelles aux valeurs contenues dans les rectangles.
Dans un schéma en barres, on peut également faire figurer des mots, des flèches, des accolades, etc.
Les problèmes représentés par les schémas en barres
Un schéma en barres peut représenter un problème additif.
On considère le problème additif suivant : « Pierre a acheté un stylo à 3 € et une agrafeuse à 12 €. Combien d'argent a-t-il dépensé en tout ? »
On peut représenter ce problème par le schéma en barres ci-dessous :
Le calcul représenté par ce schéma est :
3 + 12 = \text{ ?}
On conclut que Pierre a acheté 15 stylos.
Un schéma en barres peut représenter un problème soustractif.
On considère le problème soustractif suivant : « Pierre a acheté une trousse à 4 € et un cahier. En tout, il a dépensé 10 €. Combien a coûté le cahier ? »
On peut représenter ce problème par le schéma en barres ci-dessous :
Le calcul représenté par ce schéma est :
4 + \text{ ?} = 10
On en conclut que le cahier a coûté 6 €.
Un schéma en barres peut représenter un problème multiplicatif.
On considère le problème multiplicatif suivant : « Pierre a acheté 8 cahiers à 2,50 € le cahier. Combien d'argent a-t-il dépensé en tout ? »
On peut représenter ce problème par le schéma en barres ci-dessous :
Le calcul représenté par ce schéma est :
8 \times 2{,}50 = \text{ ?}
On en conclut que Pierre a dépensé 20 € en tout.
Un schéma en barres peut représenter un problème de division.
On considère le problème de division suivant : « Pour réaliser des bouquets identiques de 7 roses, Marin a utilisé 21 roses. Combien de bouquets a-t-il réalisé ? »
On peut représenter ce problème par le schéma en barres ci-dessous :
Le calcul représenté par ce schéma est :
\text{? } \times 7 = 21
On en conclut que Marin a réalisé 3 bouquets.
Un schéma en barres peut représenter un problème général, combinant plusieurs schémas des types précédents.
On considère le problème suivant : « Mia a choisi un nombre. En ajoutant 7 au triple du nombre choisi par Mia, on trouve 100. Quel est le nombre choisi par Mia ? »
On peut représenter ce problème par le schéma en barres ci-dessous :
Le calcul représenté par ce schéma est :
3 \times \text{Nombre de Mia } + 7 = 100
On peut raisonner en deux étapes.
On trouve d'abord la valeur de 3 \times \text{Nombre de Mia} :
3 \times \text{Nombre de Mia} vaut 100 - 7 = 93.
Et on déduit la valeur de \text{Nombre de Mia} :
\text{Nombre de Mia} est 93 : 3 = 31.
On en conclut que Mia a choisi le nombre 31.
On considère le problème suivant : « Dans un paquet de billes rouges, vertes et bleues, il y a 179 billes. Il y a quatre fois plus de billes rouges que de billes vertes et il y a 17 billes vertes de moins que de billes bleues. Combien y a-t-il de billes de chaque couleur ? »
On peut représenter ce problème par le schéma en barres ci-dessous :
Le calcul représenté par ce schéma est :
\text{? + ? + ? + ? + ? + ? } + 17 = 179
On peut raisonner en deux étapes.
On trouve d'abord la valeur de 6 points d'interrogation :
6 points d'interrogations valent 179 - 17 = 162.
Et on en déduit la valeur d'un point d'interrogation.
Un point d'interrogation vaut 162 : 6 = 27.
On en conclut que le nombre de billes vertes est égal à 27.
Suites de nombres et suites de motifs
Suites de nombres
Suite de nombres
On appelle « suite de nombres » une succession de nombres.
Voici le début d'une suite de nombres :
4 ; 9 ; 4 ; 3 ; 1 ; 5 ; 12 ; 17 ; 19...
Rang d'un terme
Dans une suite de nombres, les nombres sont appelés les « termes de la suite ». Le rang d'un terme est le nombre indiquant sa position dans la liste.
Dans la liste de nombres suivante : « 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1 024 ; etc. », le rang du terme de valeur 256 est égal à 8.
Dans certaines suites de nombres, il existe une relation particulière entre deux éléments consécutifs ou entre le rang d'un élément et la valeur associée.
On considère cette suite de nombres : 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; etc.
Pour passer d'un nombre au suivant, on ajoute 4.
Pour certaines suites, plusieurs « règles » de calcul peuvent être trouvées.
Pour la suite 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127, etc., on peut proposer les deux règles de calcul suivantes :
Prendre le double du nombre et ajouter 1 pour trouver le nombre au rang suivant :
Ajouter successivement 8, puis le double de 8, puis le double du double de 8, etc. :
Dans le cas d'une suite pour laquelle un même nombre est ajouté à chaque étape, on peut déterminer la valeur d'un terme de rang éloigné en reconnaissant une relation entre le rang d'un terme et sa valeur.
On considère la suite « 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; etc. ».
On remarque que pour passer d'un nombre au suivant, on ajoute 3.
On est alors capable de trouver la valeur du nombre de rang 100 dans la liste, en organisant ses calculs comme dans le tableau ci-dessous :
Suites de motifs
Suite de motifs évolutive
On appelle « suite de motifs évolutive » une succession de motifs différents mais qui possèdent une structure générale identique et régulière. Ces motifs peuvent être composés d'éléments simples identiques dont le nombre et la disposition évoluent au cours de la suite.
Dans la suite de motifs évolutive ci-dessous, chaque motif est composé de téléphones.
Au fur et à mesure des étapes, le nombre de téléphones évolue : il augmente d'une manière particulière.
Dans certains cas de suites de motifs évolutives, on peut formuler une relation entre le nombre d'éléments à une étape donnée et le nombre d'éléments à l'étape précédente.
Dans la suite de motifs évolutive ci-dessous, chaque motif est composé des mêmes petits cœurs rouges.
Au fur et à mesure des étapes, le nombre de petits cœurs évolue : entre une étape et la suivante, on observe que l'on ajoute trois petits cœurs.
Dans certains cas de suites de motifs évolutives, on peut formuler une relation entre le nombre d'éléments à une étape donnée et le rang de l'étape.
Dans la suite ci-dessous, les motifs sont tous constitués de petits carrés. On peut observer que :
- à l'étape 1, le motif est composé d'un carré ;
- à l'étape 2, le motif est composé de 1+3=4=2\times 2 carrés.
- à l'étape 3, le motif est composé de 4+5=9=3\times 3 carrés.
- à l'étape 4, le motif est composé de 9+7=16=4\times 4 carrés.
On remarque qu'à chaque étape, le nombre de carrés qui composent le motif est égal au rang de l'étape multiplié par lui-même.
