Les tableaux de proportionnalité
Le fonctionnement
Proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'on en multiplie une par un nombre non nul, l'autre est également multipliée par ce même nombre.
Max a acheté 1 croissant pour 1,02€. Pour en acheter 3, il devra payer 3 fois plus cher, c'est-à-dire, 3 \times 1{,}02 = 3{,}06 €. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.
Certaines grandeurs ne sont pas proportionnelles.
La taille d'une personne n'est pas proportionnelle à l'âge de celle-ci. En effet un garçon de 16 ans peut mesurer 1,80 m alors qu'une femme de 40 ans peut mesurer 1,60 m.
Règle de la multiplication :
Si 2 chaises coûtent 320€ alors 6 chaises coûtent 960€. (On multiplie les valeurs par 3).
Règle de l'addition :
Si 2 poteaux électriques mesurent 15 mètres alors 4 poteaux ( 2 + 2 poteaux) mesurent 15 + 15 = 30 mètres.
Passage à l'unité :
S'il faut 150 g de farine pour 6 personnes alors il faut 150\div6=25 g de farine pour une personne et donc 4\times25=100 g pour 4 personnes.
Tableau et coefficient de proportionnalité
Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité. Par définition, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.
Sachant qu'un croissant coûte 1,02 €, voici les prix pour 2, 3, 4, 5 croissants.
Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant : 1,02.
Les opérations
Dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du produit en croix.
? = \left(2 \times 7{,}14\right) \div 2{,}04 = 7
Pour retrouver la valeur inconnue on peut aussi diviser par le coefficient de proportionnalité du tableau. Ici le coefficient de proportionnalité est : 2{,}04\div2=1{,}02. Donc ?=7{,}14\div1{,}02=7.
Les applications de la proportionnalité
Les pourcentages
Pourcentage
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.
\textcolor{Blue}{6} \% = \dfrac{\textcolor{Blue}{6}}{100}
\textcolor{Blue}{8{,}9} \% = \dfrac{\textcolor{Blue}{8{,}9}}{100}
\textcolor{Blue}{31} \% = \dfrac{\textcolor{Blue}{31}}{100}
Si une boisson comporte 5% de sucre, cela signifie que dans 100 cL de cette boisson, il y a 5 cL de sucre.
Pour calculer t% d'un nombre, on multiplie ce nombre par \dfrac{t}{100}.
Une chemise coûte 82 €. Etienne obtient une remise de 10%.
Il bénéficie donc d'une réduction de 10 \% \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0{,}1 \times 82 = 8{,}2 € sur la chemise.
Certains pourcentages sont à connaître :
- Prendre 10% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10 (ou à prendre le dixième).
- Prendre 25% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4 (ou à prendre le quart).
- Prendre 50% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2 (ou à prendre la moitié).
10% de 156 vaut 156\div10=15{,}6.
25% de 240 vaut 240\div4=60.
50% de 10,2 vaut 10{,}2\div2=5{,}1.
Les échelles
Echelle
Une échelle permet de représenter un objet (ou un lieu) de grande taille sur une feuille, tout en respectant les proportions.
Par exemple, si une représentation est à l'échelle \dfrac{1}{2\ 500}, cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2500. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2500 cm en réalité.