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Les inégalités

I

Les inégalités

Comparer deux nombres

Comparer deux nombres revient à déterminer lequel est plus grand que l'autre, ou s'ils sont égaux. On utilise pour cela les notations suivantes :

  • \(\displaystyle{\lt }\) : strictement inférieur
  • \(\displaystyle{\gt}\) : strictement supérieur
  • \(\displaystyle{\leq}\) : inférieur ou égal
  • \(\displaystyle{\geq}\) : supérieur ou égal

\(\displaystyle{4 \lt 9,6}\)

\(\displaystyle{4 \leq9,6}\)

\(\displaystyle{5 \gt -2}\)

\(\displaystyle{a\leq0}\) signifie que le nombre \(\displaystyle{a}\) est négatif.

\(\displaystyle{a\geq0}\) signifie que le nombre \(\displaystyle{a}\) est positif.

\(\displaystyle{-7\leq0}\) donc −7 est négatif.

Comparer deux nombres revient à déterminer le signe de leur différence :

  • \(\displaystyle{a \lt b}\) est une inégalité équivalente à \(\displaystyle{a - b \lt 0}\)
  • \(\displaystyle{a \gt b}\) est une inégalité équivalente à \(\displaystyle{a - b \gt 0}\)

\(\displaystyle{5 \gt 2}\) revient à \(\displaystyle{5 - 2 \gt 0}\).

En effet :

\(\displaystyle{5 - 2 = 3}\) et \(\displaystyle{3 \gt 0}\).

Inégalité

Lorsque deux expressions \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) sont inégales, on écrit une inégalité, composée de deux membres (gauche et droite) :

\(\displaystyle{A \lt B}\)

\(\displaystyle{4x+7\lt-7x+8}\)

II

Les opérations sur les inégalités

Lorsque l'on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres d'une inégalité (c'est-à-dire du côté gauche et du côté droit), l'inégalité n'est pas modifiée.

On soustrait 3 aux deux membres de l'inégalité \(\displaystyle{12 \lt 38}\). On obtient :

\(\displaystyle{12 - 3 \lt 38 - 3}\)

Soit :

\(\displaystyle{9 \lt 35}\)

Lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement positif, l'inégalité n'est pas modifiée.

On multiplie par 2 les deux membres de l'inégalité \(\displaystyle{5 \lt 11}\). On obtient :

\(\displaystyle{5 \times 2 \lt 11 \times 2}\)

Soit :

\(\displaystyle{10 \lt 22}\)

Lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement négatif, l'inégalité change de sens.

On multiplie par −3 les deux membres de l'inégalité \(\displaystyle{4 \lt 7}\). On obtient :

\(\displaystyle{4 \times \left(-3\right) \color{Red}{\gt} 7 \times \left(-3\right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{-12 \gt -21}\)